Ciągi arytmetyczne i geometryczne

Zadania

Grupa 1

1.

Zbadaj monotoniczność i ograniczenie ciągu. Sporządź jego wykres

2.

Rozwiąż równanie

3.

Cztery Liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Suma dwóch pierwszych jest równa 60, a iloczyn dwóch końcowych wyrazów tego ciągu 75. Wyznacz ten ciąg.

4.

Między liczby 32 i 500 wstawić dwie tak, aby wszystkie cztery tworzyły ciąg geometryczny.

5.

Liczby a, b, c, d tworzą ciąg arytmetyczny, zaś liczby a+5, b+6, c+9, d+15 ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.

Grupa 2

1.

Zbadaj monotoniczność i ograniczenie ciągu:

2.

Rozwiąż równanie:

3.

Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Przeciwprostokątna jest równa 30. Wyznacz długości pozostałych boków. I oblicz pole trójkąta.

4.

Między liczby 2 i 56 wstawić dwie tak, aby trzy pierwsze tworzyły ciąg geometryczny, a trzy ostatnie arytmetyczny.

5.

Cztery liczby tworzą ciąg geometryczny w którym suma wyrazów skrajnych wynosi 112, a wyrazów środkowych 48. Wyznacz te liczby.

Rozwiązania

Grupa 1

1.

a) monotoniczność 

Weźmy dowolne i takie, że

Wtedy:

Na mocy definicji ciąg jest rosnący.

b) Ograniczenia

Mówimy, że ciąg jest ograniczony, gdy jest ograniczony z góry i z dołu.

zauważmy, że

c) Ciąg liczbowy można przedstawić wykresem.


Do góry

2.

Zauważmy z łatwością, że mamy do czynienia z sumą ciągu arytmetycznego 

Wyznaczamy "r"- stałą oraz "n"-ty wyraz ciągu ze wzorów

Podstawiamy wzór sumy i "n" wyrazu do równania oraz rozwiązujemy go.

    liczba jest ujemna więc nie jest
rozwiązaniem

Odp. W ciągu ,którego suma jest równa 280 ostatni wyraz to 55.

Do góry

3.

Ponieważ ciąg jest arytmetyczny przyjmujemy.

Z warunków zadania wiemy, że:

Podstawiamy doprowadzając do jednej niewiadomej i rozwiązujemy układ równań.


Układamy czterowyrazowe ciągi z powyższych rozwiązań.

Odp. Rozwiązaniem tego zadania są dwa ciągi arytmetyczne spełniające wszystkie warunki zadania.

Do góry

4.

Ponieważ ciąg jest geometryczny można przyjąć.

Obliczamy ostatni wyraz ciągu ze wzoru ,podstawiamy i obliczamy "q"- iloraz ciągu

Obliczamy wyrazy ciągu x i y.

Odp. Szukanymi wyrazami ciągu są x=80, y=200, które tworzą ciąg geometryczny

Do góry

5.

Mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym i geometrycznym i wiemy że: 

- ciąg arytmetyczny

- ciąg geometryczny

Ponieważ ciąg jest arytmetyczny.  Ponieważ ciąg jest geometryczny.

Układamy układ równań z trzema niewiadomymi. 


Brak rozwiązania

Układamy i sprawdzamy ciąg geometryczny i arytmetyczny zgodnie z warunkami zadania.

Ciąg arytmetyczny Ciąg geometryczny

Odp. Rozwiązaniem zadania są liczby a=3, b=6, c=9, d=12,
które tworzą ciąg arytmetyczny oraz ciąg geometryczny zgodnie z zadaniem .

Do góry

Grupa 2

1.

a) Badamy monotoniczność ciągu:

Jak więc widać ciąg jest rosnący.

b) Badamy ograniczenie ciągu:

Zauważmy, że 

Ciąg jest ograniczony z dołu, nie jest ograniczony z góry.

Do góry

2.

Zauważmy, że lewa strona równania to szereg geometryczny o:

Sprawdzamy warunek istnienia szeregu:
czyli , więc:

ze wzoru na sumę

     

Do góry

3.

Niech c oznacza przeciwprostokątną, a i b - przyprostokątne. Przyjmijmy, że a jest najkrótszym bokiem. Wtedy:

Boki trójkąta są równe a=18, b=24 i c=30.

Jego pole to .

Do góry

4.

Z treści zadania mamy:
(2,x,y) - ciąg geometryczny
(x,y,56) - ciąg arytmetyczny

Z definicji ciągów:

Odp. Istnieją dwa ciągi spełniające warunki zadania:
 

Do góry

5.

Niech:

Z treści zadania:

gdzie , więc

       

nie spełnia warunków zadania.

Odp. Są dwa takie ciągi: (108,36,12,4) lub (4,12,36,108).

Do góry

Do góry