WIELOMIANY

Suma jednomianów, np. jest wielomianem zmiennych x, y, z . Wielomian o postaci , , , ogólnie , gdzie ,..., (¹) są to określone liczby, tzw. współczynniki wielomianu, zaś x oznacza zmienną , jest wielomianem jednej zmiennej i oznacza się go symbolem , przy czym n nazywamy stopniem wielomianu . Wielomian W(x) jest funkcją zmiennej x, określaną dla każdej wartości tej zmiennej . Dwa wielomiany nazywamy równymi wtedy i tylko wtedy, jeśli mają jednakowe współczynniki przy odpowiednich potęgach (różnią się co najwyżej kolejnością składników) , np.; oraz są to wielomiany równe . Wielomiany można dodawać i odejmować . Wielomiany mnożymy mnożąc każdy składnik mnożnej przez każdy składnik mnożnika , a następnie redukując wyrazy podobne np.;

Dzielenie wielomianów jest to wyznaczenie takiej funkcji wymiernej (niekoniecznie wielomianu), która pomnożona przez wielomian będący dzielnikiem daje wielomian będący dzielną np.; , ponieważ

Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian postaci x - c , gdzie a Î R , jest równa liczbie W(c) . Jeżeli liczba wymierna jest miejscem zerowym wielomianu , gdzie (¹) to q jest dzielnikiem współczynnika zaś p. dzielnikiem współczynnika .

Temat : Wielomian jednej zmiennej.

Def.

Wielomian stopnia n nazywamy funkcją W: R®R daną wzorem , gdzie , , ... , , ¹, nÎN. Wyrażenia ,..., nazywamy współczynnikami a stopień wielomianu oznaczamy W(x) = n . Przykład :

W(x) =

stopień wielomianu W(x) = 2

Def.

Wielomianem zerowym nazywamy wielomian stale równy zeru i zapisujemy W(x) º 0 .

Def.

Dwa wielomiany W(x) i P.(x) są równe wtedy i tylko wtedy gdy :

· są tego samego stopnia

· mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach

W(x) = P.(x)

P.(x) =

W(x) = P.(x) Û ( n = m. ) Ù ( Ù...Ù )

Przykłady:

Dla jakich a,b wielomiany W(x) = , P.(x) =są równe .

· W(x) = P.(x) (są tego samego stopnia 3) . Aby były równe muszą mieć równe odpowiednie współczynniki

Ú

Odp. Wielomiany są równe jeśli a = -3 i b = -2 lub a = -3 i b = 2 .

Temat : Dzielenie wielomianów

I. Def.

Wielomian P.(x) nazywamy dzielnikiem wielomianu (W(x) ¹ 0) , W(x) jeśli istnieje wielomian Q(x) taki, że W(x) = P.(x) Q(x) .

Przykład :

Dzielenie liczb	Dzielenie wielomianu
965 : 5 = 193	(): () =
-5	-
46
-45	-
15	= =
15
= =	() = () ()
965 = 5 * 193

II. Dzielenie z resztą

Dzielenie liczb	Dzielenie wielomianu
753 : 2 = 376,5	():
-6	-
15
-14	-
13	11 R = 11
-12
1 R = 1	() = + 11
753 = 2 * 376 + 1

Tw.

Dla dowolnych wielomianów W(x) i P(x) ¹ istnieją wielomiany Q(x) i R(x) takie, że W(x)=P(x) * Q(x) + R(x) przy czym stopień R(x) musi być mniejszy od stopnia wielomianu P(x) .

R(x) < P(x) dla R(x) º 0

Temat : Dzielenie wielomianu przez dwumian . Schemat Hornera.

Metoda Hornera jest to dzielenie wielomianu przez dwumian () przy użyciu tzw. schematu Hornera .

Przykład : () :

Dzielenie tradycyjne	Schemat Hornera
():=
-		1	-2	3	-1
-	1	1	-1	2	1
-		współczynnik ilorazu Q(x)			reszta R(x)
-	a. należy przepisać pierwszy wyraz b. 1 * 1 + (-2) = -1
1	c. 1 * (-1 ) + 3 = 2
() =() + 1	d. 1 * 2 + (-1) = 1 R =1
W(x) = P(x) * Q(x) + R(x)	() =() + 1

Przykład

Wykonaj dzielenie:

(x³+x–5):(x–3)=

	1	0	1	–5
3	1	3	10