Aleksandra Kościewicz

STEREOMETRIA

Stereometria jest geometrią przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej.

PROSTE I PŁASZCZYZNY

Elementami konstrukcyjnymi geometrii przestrzennej są punkty , proste i płaszczyzny. Konstrukcje budowane są w przestrzeni , która sama nie jest elementem konstrukcyjnym.

Punkt – jedno z podstawowych pojęć geometrii; element zbioru rozważanego łącznie ze strukturą, wraz z którą zbiór ten tworzy przestrzeń P. Punkt jest pojęciem pierwotnym.

Prosta- jedno z najważniejszych pojęć geometrii; pierwowzorem matematycznie rozumianej prostej są: linia, która w każdym swoim miejscu wygląda jak naprężona struna w stanie spoczynku, tor swobodnie spadającego przedmiotu, promień światła, itp. Pojęcie prostej jest pojęciem pierwotnym.

Płaszczyzna- jedno z najważniejszych pojęć geometrii; pierwowzorem matematycznie pojmowanej płaszczyzny jest: powierzchnia rozłożonej na stole kartki papieru, powierzchnia tablicy, itp. Płaszczyznę traktuje się jako pojecie pierwotne, albo jako podzbiór przestrzeni.

1. Pojęcia podstawowe:

Płaszczyzna jest wyznaczona w przestrzeni:

a) trzema punktami nie położonymi na jednej prostej

b) prostą i punktem nie położonym na niej

c) dwiema przecinającymi się lub równoległymi prostymi

Dwie różne płaszczyzny mogą być położone względem siebie w przestrzeni dwojako:

a) przecinają się według prostej , którą nazywamy krawędzią przecięcia.

b) nie maja punktów wspólnych i wówczas płaszczyzny takie określamy jako równoległe.

Rozważając położenie prostej w przestrzeni względem danej płaszczyzny widzimy, że zachodzą tu trzy przypadki:

a) prosta ma z daną płaszczyzną dwa punkty wspólne, a więc tym samym wszystkie pozostałe i wobec tego jest położona na niej.

b) prosta ma z daną płaszczyzną jeden punkt wspólny, a więc przebija płaszczyznę.

c) prosta nie ma z płaszczyzną żadnego punktu wspólnego i wówczas określamy ją jako prostą równoległą.

Rozpatrzmy w przestrzeni dwie proste równoległe, które nie przecinają się i nie są równoległe. Wynika z tego , że proste nie wyznaczają żadnej płaszczyzny – albo inaczej- nie można przez nie poprowadzić żadnej płaszczyzny. Dwie proste tak wzajemnie położone nazywamy prostymi skośnymi.

2. Płaszczyzny równoległe.

TWIERDZENIE

Jeżeli dwie płaszczyzny równoległe są przecięte

płaszczyzna, to krawędzie przecięcia są równoległe.

Na rysunku mamy PtQ. Z twierdzenia wynika ,że

wówczas ltk. Jako bezpośredni wniosek z tego

twierdzenia wynika, że przez dany punkt A nie

położony na danej płaszczyźnie P można

poprowadzić tylko jedną płaszczyznę Q równoległą

do danej płaszczyzny P, tj. QtP.

Drugi wniosek to to, że dwie płaszczyzny równoległe

do trzeciej są do siebie równoległe.

3. Proste równoległe.

Rozpatrując położenie prostych równoległych w przestrzeni możemy wygłosić następujące :

TWIERDZENIE

Jeżeli płaszczyzna przechodząca przez prostą równoległą do danej płaszczyzny przecina daną płaszczyznę, to krawędź przecięcia tych płaszczyzn jest równoległa do danej prostej.
Na rysunku mamy atP oraz Q przechodzi przez a i przecina P wzdłuż b. Wówczas bta.

TWIERDZENIE

Jeżeli płaszczyzna poprowadzona przez prostą równoległą do danej prostej na danej płaszczyźnie przecina daną płaszczyznę, to krawędź przecięcia tych płaszczyzn jest równoległa do danej prostej.
Na rysunku prostą daną jest a na płaszczyźnie P. Oprócz tego atb i Q przechodzi przez b i przecina P. Krawędź przecięcia Q i P- prosta cta.

TWIERDZENIE

Jeżeli z dwóch prostych każda jest równoległa do trzeciej prostej w przestrzeni, to proste te są równoległe.

TWIERDZENIE

Prosta równoległa do każdej z dwóch przecinających płaszczyzn jest równoległa do ich krawędzi przecięcia.
Na rysunku jest btP i btQ, P i Q przecinają się wzdłuż a. Wówczas musi być atb.

TWIERDZENIE

Jeżeli dwa kąty mają ramiona odpowiednio równoległe i zgodnie skierowane, to kąty te są

równe a ich płaszczyzny są równoległe.

TWIERDZENIE

a b

B’

A’

Odcinki prostych równoległych wyznaczone na tych prostych przez płaszczyzny równoległe są sobie równe.
Na rysunku jest atb i PtQ oraz P i Q przecinają a i b. Wówczas AA’=BB’.

4. Proste i płaszczyzny prostopadłe.

TWIERDZENIE

Jeżeli prosta jest prostopadła do dwóch różnych prostych na płaszczyźnie przechodzących przez punkt przecięcia prostej z płaszczyzną, to jest prostopadła do każdej prostej na płaszczyźnie przechodzącej przez punkt przecięcia prostej z płaszczyzną.