PRZYKŁAD
1. Oto
zestawienie liczby dni deszczowych w wybranych stacjach meteorologicznych
Wielkiej Brytanii w ciągu jednego roku:
260
234 173 197
182 209 241
187 191 171
265
188 206 164
194 207 199
226 135 156
194
205 243 268 185
241 253 228
199 158
236
209 199 226
164 250 198
177 175 180
Utworzymy tablicę częstości, stosując przedziały klasowe o
rozpiętości 10, począwszy od klasy 150 – 159
|
Klasa
|
150-159
|
160-169
|
170-179
|
180-189
|
190-198
|
200-209
|
210-219
|
220-229
|
230-239
|
240-249
|
250-259
|
260- 269
|
|
Częstość
|
2
|
2
|
4
|
5
|
8
|
5
|
0
|
3
|
3
|
3
|
2
|
3
|
Klasa 190 – 199 ma tutaj częstość największą. Taką klasę nazywamy klasą
modalną.
ZADANIA
1. Poniżej
podaliśmy przyrost naturalny w Polsce w promilach w wybranych latach okresu lat
1950 – 1990:
19 20
15 10 9
10 10 8
4
Narysuj histogram częstości
występowania tych danych oraz wielokąt częstości.
2. Policzono,
że w pewnej powieści, na pewniej stronicy znajduje się w kolejnych wierszach
11 10
6 8 12
1 9 5
7 8
8 8
8 9 10
8 8 8
3 7
13 5
10 9 7
9 6 8
6 8
11 9
9 8 9
11 3 6
wyrazów.
Przedstaw dane w postaci tablicy częstości. Ile wynosi moda wyrazów w wierszu?
Narysuj histogram częstości danych. Oblicz częstości względne poszczególnych
danych.
ŚREDNIA ARYTMETYCZNA
Przy opracowywaniu danych bardzo często stajemy przed
koniecznością podania liczby charakteryzującej w jakiś sposób cały zbiór
danych. Takie liczby nazywamy średnimi. Najpopularniejszą średnią jest średnia arytmetyczna. Obliczamy ją, dodając
wszystkie dane, a następnie dzieląc otrzymaną sumę przez liczbę danych. Jeśli
zmienną będziemy oznaczać przez X, liczbę tych danych przez N i średnią
arytmetyczną zmiennej przez to powyższe słowa możemy zapisać
za pomocą następującego wzoru symbolicznego:
We wzorze tym ΣX oznacza sumę wszystkich danych zmiennej
X = x1 + x 2 + ... + xn
PRZYKŁADY
1. Średnią
liczb:
1 3 5
7 9 11
13 15 17
19 jest liczba
W naszym przypadku średnia nie jest żadną z liczb danych i
leży dokładnie w środku między wartościami krańcowymi danych. Zauważmy, że
każda dana występuje tutaj tylko jeden raz.
2.
Jeżeli obliczyliśmy częstości danych, to średnią można obliczyć
nieco łatwiej. Na przykład średnią arytmetyczną danych:
1 5
7 2 5
5 7 2
2 1 1
7
obliczamy, sumując iloczyny danych przez ich
częstości, a następnie dzieląc otrzymaną sumę przez liczbę danych:
3. Weźmy
pod uwagę dane:
8 7 10
8 8
10 8 10
10 2
8 8 10
10 10
9 9 9
13 11
9 8 11
10 10
4
określające, ile wyrazów mają
kolejne wiersze wstępu do pewnego podręcznika. Średnią arytmetyczną tych danych będziemy
obliczać inaczej niż poprzednio. Zauważmy, że liczba 8 znajduje się stosunkowo
blisko większości danych. Każdą daną przedstawmy jako sumę liczby 8 oraz pewnej
liczby (zwanej odchyleniem):
0
–1 2 0 0
2 0 2
2 –6
0
0 2 2 2
1 1 1
5 3
1
0 3 2 2 -4
Średnia arytmetyczna danych jest wtedy równa sumie liczby 8 oraz średniej
arytmetycznej odchyleń:
Posłużyłyśmy się tutaj rozkładem częstości odchyleń.
4. Średnią
arytmetyczną można obliczać również dla danych zgrupowanych. Otrzymana średnia
nie jest wtedy na ogół równa średniej arytmetycznej wyjściowych danych. W
szczególności grupując dane z poprzedniego przykładu w klasy 1 - 5, 6 - 10, 11
– 15, otrzymujemy częstości:
|
Klasa
|
1 - 5
|
6 - 10
|
11 - 15
|
|
Częstości
|
2
|
21
|
3
|
Wartościami środkowymi kolejnych klas są:
Średnia arytmetyczna danych zgrupowanych jest równa ilorazowi sumy iloczynów
wartości środkowych klas i ich częstości przez liczbę danych:
Sposób obliczania średniej arytmetycznej z przedostatniego
przykładu jest wart uwagi. Można go wypowiedzieć następująco: na podstawie
wyglądu danych przyjmujemy pewną wartość jako średnią „przewidywaną”. Następnie
wypisujemy odchylenia poszczególnych danych od średniej przewidywanej i
obliczamy średnią arytmetyczną odchyleń.
Tw.
Średnia
arytmetyczna danych jest sumą średniej przewidywanej oraz średniej
arytmetycznej odchyleń.
DOWÓD.
Jeśli
dane są postaci:
a
+ r1 , a + r2 , ..... , a + rn , to zachodzą
następujące równości
ZADANIA
1. Poniżej
podano średnią temperaturę powietrza w wybranych stacjach meteorologicznych
Polski w latach 1951 – 1980 w stopniach Celsjusza:
7,4 7,5
6,0 6,8 7,2
8,3 6,8 7,6
7,2 8,1
8,0 7,7
7,2 8,2
7,8 7,6 7,4
8,2 6,9 7,2
7,7 0,4
7,2 8,3 7,7
7,6 8,0 7,7
7,9 5,0
Oblicz średnią temperaturę
powietrza w Polsce w tych latach. Następnie pogrupuj je, stosując przedziały klasowe:5,0 – 5,9 ; 6,0 – 6,9 itd. Utwórz tabelę częstości
klas i korzystając z niej, oblicz jeszcze raz, średnią temperaturę powietrza.
2.
Sporządź tablicą częstości i oblicz, ile średnio dzieci przypada
w rodzinach kolegów i
koleżanek Twojej klasy.
3. Niżej
podana tabela częstości przedstawia liczbę bramek strzelonych podczas jesiennej
Rundy rozgrywek piłki nożnej w
Anglii:
Bramki 0
1 2 3
4 5
Częstości 16
15 6 4
2 1
Oblicz średnią liczbę uzyskanych bramek.
RÓŻNE RODZAJE ŚREDNICH I ICH INTERPRETACJE
Poznaliśmy dotychczas dwa rodzaje średnich: modę oraz
średnią arytmetyczną. Średnia arytmetyczna nie zawsze oddaje charakter danych.
Świadczy o tym następujący przykład.
PRZYKŁAD
Przypuśćmy, że w pewnym zakładzie pracy jest zatrudnionych
100 pracowników, z których:
90 zarabia po 500 zł miesięcznie
5 zarabia po 1000 zł miesięcznie
4 zarabia po 4000 zł miesięcznie
1 zarabia po 10000zł miesięcznie.
Średnia arytmetyczna płac wyniesie wtedy
Jest to kwota przewyższająca najniższą płacę o 52%. Ponieważ
najniżej zarabiający jest aż90%, więc średnia ta nie oddaje charakteru danych.
Znacznie lepszą średnią jest moda, która w tym wypadku jest równa 500 zł.
Stosując ją, nie obrazimy uczuć tych najsłabiej uposażonych.
Inną średnią jest mediana,
czyli wartość środkowa. Znajdujemy ją w następujący sposób. Dane porządkujemy
według ich wielkości liczbowych. Jeśli liczba danych jest nieparzysta to
bierzemy tę, która leży w środku. Jeżeli liczba jest parzysta, to bierzemy
średnią arytmetyczną dwóch środkowych danych.
PRZYKŁADY
1. Medianą wzrostu siedmiu uczniów pewnej
klasy (liczonego w centymetrach):
152
147 155 149
151 148 157
jest liczba 151, bo ustawiając je
zgodnie z rosnącą wielkością mamy:
147
148 149 151 152
155 157
2. Medianę możemy obliczać również, mając
dany rozkład:
|
Wynik
|
151
|
152
|
153
|
154
|
155
|
156
|
|
Częstość
|
3
|
4
|
7
|
6
|
3
|
1
|
mamy 24 dane. Wyniki 12 i 13
odpowiadają danej 153. Zatem mediana jest równa 153.
3. Dość skomplikowane jest obliczanie
mediany dla danych zgrupowanych. Rozkład częstości wagi uczniów pewnej klasy
wynosił ( z dokładnością do 1 kg):
|
Waga [kg]
|
35 - 39
|
40 - 44
|
45 - 49
|
50 - 54
|
55 - 59
|
60 - 64
|
|
Częstości
|
1
|
5
|
9
|
9
|
4
|
2
|
Tworzymy najpierw tabelę tak zwanych częstości skumulowanych:
|
Waga [kg]
|
35 - 39
|
40 - 44
|
45 - 49
|
50 - 54
|
55 - 59
|
60 – 64
|
|
Częstość
|
1
|
6
|
15
|
24
|
28
|
30
|
Następnie rysujemy krzywą
częstości skumulowanych. W tym celu znajdujemy najpierw tak zwane górne granice klas, czyli dla klasy 35 – 39 środek
39,5 odcinka 39 – 40, dla klasy 40 – 44 środek 44,5 odcinka 44 – 45 itd.
Następnie łączymy punkty (39,5 ; 1)(44,5 ;6)(49,5 ;
15)(54,5 ; 24)(59,5 ; 28)(64,5 ; 30) Otrzymujemy krzywą o charakterystycznym
wyglądzie. Danych jest 30. Mediana jest to wartość liczbowa, odpowiadającą
punktowi na osi częstości leżącemu w środku między 15 i 16, czyli 15,5. Jest to
(bo granicy 49,5 odpowiadającej
częstości 15 dodajemy wartość odpowiadającą przyrostowi częstości 0.5, a wiemy, że przyrostowi częstości 9 odpowiada przyrost danej
5).
Mediana nie ulega zmianie z powodu jednej lub kilku nienormalnie dużych lub małych
danych. Warto ją stosować, jeśli odległości między większością danych są
niewielkie w porównaniu z wielkością samych danych. W niektórych sytuacjach
mediana nie jest jednak dobrą średnią.
PRZYKŁAD
1. Weźmy pod uwagę dane:
1 1
1 1 1 3
4 6 7
Medianą jest tu
1 i nie oddaje ona charakteru danych. Średnia arytmetyczna wynosi 3 i
lepiej je charakteryzuje.
Czasem się zdarza, że niektóre dane mają większe znaczenie od innych. W takich przypadkach możemy stosować
tzw. średnią
ważoną. Mając dane d1, d2,
... , dn wiążemy z każdą z nich wagi w1 , w2,
... , wn i
obliczamy stosunek
A oto kilka
przykładów ilustrujących zastosowanie tej średniej.
PRZYKŁADY
1. Przypuśćmy, że pewien nauczyciel
matematyki przeprowadził w ciągu semestru trzy sprawdziany, z których drugi
jest dwa razy trudniejszy od pierwszego, a trzeci jest dwa razy trudniejszy od
drugiego. Postanowił przy tym na podstawie tych sprawdzianów wystawić uczniom
oceny na semestr. Pewien uczeń otrzymał z pierwszego sprawdzianu 4, a z
drugiego 3 i z trzeciego 2. Jaką ocenę semestralną otrzyma?
Zauważmy, że trzeci sprawdzian jest cztery razy trudniejszy od pierwszego.
Zastosujemy więc średnią ważoną o wagach 1, 2, 4:
Uczeń powinien otrzymać ocenę dostateczną.
1. W sklepie sprzedawano żarówki 60 W w
cenie 1 zł, 75 W w cenie 1,5 zł oraz 100 W w cenie 2 zł. Kierownik sklepu
ustalił, że za każde cztery sprzedane żarówki 60 W przypadają trzy sprzedane
żarówki 75 W oraz jedna 100 W. Jaki jest średni przychód ze sprzedaży tych
żarówek, liczony na jednostkę towaru?
Obliczamy średnią ważoną o wagach 4, 3, 1:
Średni przychód wyniósł 1,31 zł.
ZADANIA
1. Oblicz
średnią arytmetyczną, medianę i modę następujących zbiorów danych:
a) 6 6
10 10
10 14 14
b) 122 134
152 173 180
180 180
c) 24
24 25 31
40 50
63 79
2. Uczeń otrzymał następujące oceny z
kolejnych sprawdzianów:
3 2
2 1 3 5
4 2 3
2
Oblicz medianą, średnią arytmetyczną i
modę tych danych.
Która ze średnich preferować będzie uczeń,
mówiąc o przeciętej ocen?
Która ze średnich najbardziej zainteresuje
rodziców?
3.
Poniżej dane stanowią liczby liter w trzydziestu kolejnych
wyrazach pewnej książki:
35 61
27 55 47
73 36 61
42 61
46 52
49 54 60
32 42 36
36 54
26 32
29 51 61 49
57 28 32
28
a) Jaka
jest modalna liczba liter w wyrazie?
b) Jaka
jest średnia liczba liter w wyrazie?
c) Znajdź
medianę tego zbioru danych
4.
Znajdź średnią ważoną wartości:
a) 25
i 50 o wagach 2 i 3
b) 20,
28, 36 i 40 o wagach odpowiednio 1, 2, 3, 4 i 5
MIARY ROZPROSZENIA
Średnie opisują zbiory danych, ale nie jest to opis pełny.
Bardzo istotne jest, w jaki sposób dane są ułożone dokoła średnich. Ilustruje
to następujący przykład.
PRZYKŁAD
1. Weźmy
pod uwagę cztery zakłady pracy A, B, C i D, z których każda zatrudnia po 10 ludzi. W
poniższej tabeli podaliśmy liczbę pracowników, którzy zarabiają pewne sumy
pieniędzy:
|
Zarobek
|
A
|
B
|
C
|
D
|
|
200
|
2
|
5
|
1
|
0
|
|
400
|
2
|
0
|
2
|
5
|
|
600
|
2
|
0
|
4
|
0
|
|
800
|
2
|
0
|
2
|
5
|
|
100
|
2
|
5
|
1
|
0
|
Średnia arytmetyczna jest we wszystkich zakładach równa 600
zł. Jednak sposób, w których poszczególne dane są rozłożone wokół tej średniej,
jest zupełnie inny. Jednak ze sposobów ich porównania jest tak zwane odchylenie średnie, obliczane jako średnia
arytmetyczna wartości bezwzględnej odchyleń poszczególnych danych od średniej.
Odchylenia te są równe:
dla 200
- 400
dla 400
- 200
dla 600 0
dla 800 200
dla 1000
400
Z tego zestawienia wynika, że odchylenie średnie jest równe:
W każdym przypadku mamy inne odchylenie średnie. Im większe
jest odchylenie średnie, tym większe jest rozproszenie danych. Zatem w
zakładzie C rozproszenie jest najmniejsze. Nie jest ono jednak najmniejsze z
możliwych. Gdyby wszyscy pracownicy zarabiali po 600 zł, to odchylenie średnie
byłoby równe zero
Wartość odchylenia średniego możemy zapisać symbolicznie
Zauważmy, że jeśli odchylenie średnie jest równe zero, to wszystkie dane równe
są średniej arytmetycznej. Mamy więc wtedy dane
skupione w jednym punkcie. Im większe jest odchylenie średnie tym bardziej dane
mogą być odchylone od średniej arytmetycznej.
Znacznie lepszymi, pod względem rachunkowym
, narzędziami do określania miary rozproszenia danych są wariancja i
odchylenie standardowe. W żadnej z nich nie stosuje się uciążliwej pod względem
rachunkowym wartości bezwzględnej.
Def.
Wariancją σ² zmiennej X nazywamy średnią
arytmetyczną kwadratów odchyleń danych od średniej arytmetycznej. Zapisujemy to
symbolicznie
Def.
Odchyleniem
standardowym σ zmiennej X nazywamy pierwiastek kwadratowy ze
średniej arytmetycznej kwadratów odchyleń danych od średniej arytmetycznej.
Zapisujemy:
PRZYKŁADY
1.
Obliczymy odchylenie standardowe dla danych:
3 8 1
3 6 4
2 2 7
Zaczniemy od
obliczenia średniej arytmetycznej. Jest ona równa 4. Następnie budujemy
tabelę odchyleń oraz kwadratów odchyleń danych od średniej:
|
Dana
|
3
|
8
|
1
|
3
|
6
|
4
|
2
|
2
|
7
|
|
Odchylenie
|
-1
|
4
|
-3
|
-1
|
2
|
0
|
- 2
|
-2
|
3
|
|
Kwadrat odchylenia
|
1
|
16
|
9
|
1
|
4
|
0
|
4
|
4
|
9
|
Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym ze
średniej arytmetycznej kwadratów odchyleń:
ZADANIA
1.
Oblicz średnią oraz odchylenie standardowe każdego z poniższych
zbiorów danych:
a) 3 4 5
6 7
9 10 12
b) 21 20 23 20
29 27 24
c) 60 60 64 66
63 67 69
d) 35 37 40 37
30 33 34
38
2. Czy
odchylenie standardowe może być równe zero, jeśli nie wszystkie dane są równe
zero, a średnia arytmetyczna jest równa zero?
3. Wykaż,
że odchylenie standartowe jest nie mniejsze od odchylenia średniego.
