WSTĘP
Człowiek od zawsze podpatrywał przyrodę, starał się poznać jej sekrety. Nie dla samej tylko satysfakcji poznania; znajomoć jej praw ułatwiała mu pracę, nierzadko nawet umożliwiała istnienie. Co wiedza przyrodnicza ma wspólnego z matematykš? Przyroda, natura to co żywego, dynamicznego, zmiennego, matematyka za wydaje się sucha, formalna, statyczna. Lecz u jej podłoża, u poczštków prawdziwie interesujšcego problemu matematycznego zazwyczaj leży jakie dobrze postawione, istotne pytanie typu przyrodniczego, dotycz[C1]šce własnoci lub wielkoci przedmiotu z otaczaj[C2]šcego nas wiata.
Gdy w starożytnym Egipcie interesowano się geometriš, nie było to zainteresowanie czysto teoretyczne. Można się nawet spierać o to, czy w ogóle było ono teoretyczne. Systematyczne wylewy życiodajnych wód Nilu i zwišzana z nimi koniecznoć cišgłego wymierzania gruntów stworzyły potrzebę rozwoju umiejętnoci dokonywania pomiarów ziemi.
Z drugiej strony, każda zorganizowana społecznoć, gdzie dobra materialne nie występujš w obfitoci, narzuca koniecznoć ich liczenia. Tak więc mierzenie i liczenie legło u podstaw naszej cywilizacji w sposób dla nas zrozumiały i powszechnie akceptowany. Rozumiemy więc, że w dziedzinie matematyki mieci się teoria mierzenia i liczenia, ale czy tylko?
Przez wiele wieków, w zasadzie aż do pocz[C3]štku wieku XX tak włanie nieomal sšdzono. Lecz matematyka zawsze chciała być pomocna w badaniu własnoci interesujšcych obiektów i na skutek tego z rzadka ogranicza swoje rejony do liczb oraz do ustalania zwišzków między nimi.
Matematyka w cisłym sensie zaczyna się tam, gdzie już, formalnie rzecz bioršc, nie mówi się o konkretnych przedmiotach. Poznawczo ważny etap interpretacji i wyboru aksjomatów dokonuje się w naukach przyrodniczych. Tezy, bšd hipotezy z tych nauk, przywędrowujš często do matematyki w postaci wyabstrahowanych własnoci wprowadzonych pojęć. Tutaj zostajš zaakceptowane jako tzw. aksjomaty. Tak w np. w genialnym, zastanawiajšco dojrzałym wykładzie geometrii zaprezentowanym przez Euklidesa w jego Elementach, udoskonalonym przez wybitnego niemieckiego matematyka Dawida Hilberta, pierwotnymi pojęciami sš pojęcia: punktu, prostej i płaszczyzny. O tych pojęciach wypowiada się pewne zdania zwane aksjomatami (pewnikami), a następnie ze zdań tych wyprowadza się w sposób logicznie poprawny inne zdania, zwane twierdzeniami.
Wiek XIX był okresem wspaniałego rozwoju fizyki co rzutowało w sposób pozytywny na ogromny postęp w dziedzinie matematyki. Nowe fakty wykryte i potwierdzone eksperymentalnie wymagały wyłuskania swojej istoty, obudowania stosownš teoriš formalnš, wyjanienia zwišzków logicznych. W tym włanie miejscu zaczyna się matematyka jako nauka żywa i sprężysta, o wysokich wymaganiach w zakresie cisłoci. Jej podstawowym walorem jest możliwoć formalnego wycišgania wniosków z wczeniej zaakceptowanych tez, wykrywania sprzecznoci i błędów w naszych rozumowaniach. W poczštku wieku XX matematycy poczęli sobie zdawać sprawę ze zmienionej funkcji uprawianej przez siebie dyscypliny i gwałtownego poszerzenia się pola
ich badań. Zaczęła się gruntować opinia, że nie tylko liczby i ich własnoci leżš w centrum zainteresowania matematyków, ale że główne miejsce we współczesnej matematyce zajmuje pojęcie zbioru i odwzorowania i że pojęcie własnoci, w szczególnoci własnoci liczb, jest w swojej istocie niczym innym jak pojęciem zbioru. Dalej zauważono, że pojęcie to jest niezwykle ogólne. Jego ogólnoć wywołała w poczštku naszego stulecia wiele przykrych refleksji u matematyków o nieco bardziej filozoficznym nastawieniu. Okazało się, że pozostajšc w nowo tworzonej teorii zbiorów na poziomie dotychczasowej cisłoci dochodzimy do zdań wewnętrznie sprzecznych, które musielibymy uznać za twierdzenia tej teorii. Sytuacja oczywicie nie do zaakceptowania. Narzuciła ona matematykom koniecznoć przeorania od podstaw całej uprawianej przez nich nauki i stała się przyczynš rozwoju logiki matematycznej oraz stworzenia nowej zupełnie gałęzi wiedzy zwanej podstawami matematyki.
–—™–—™–—
ELEMENTY LOGIKI MATEMATYCZNEJ
def.
Zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie, któremu można przyporzšdkować jednš z dwóch ocen. Albo wyrażenie jest prawdziwe, albo fałszywe. prawdę lub fałsz nazywamy wartociš logicznš zdań.
przykład:
Niebo jest zielone. - zdanie logiczne o wartoci fałszywej
Czy listonosz pogryzł psa? - przykład zdania, które nie jest zdaniem
logicznym, ponieważ nie można mu przy
porzšdkować prawdy, ani fałszu
Treć zdania nie jest istotna. Abstrahujšc od niej będziemy zdania oznaczać małymi literami alfabetu, np.:p, q, r, s (zmienne zdaniowe).
Wartoć logicznš zdania oznaczamy:
1 - zdanie fałszywe
def. (alternatywa-suma-zdań)
Jeżeli dane sš dwa zdania: p, q, to zdanie p lub q nazywamy alternatywš zdań p i q i zapisujemy symbolicznie: p v q.
Wartoci logiczne zdania p v q w zależnoci od wartoci logicznych zdań p i q podane sš podane w tabelce:
|
p |
q |
p v q |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
Alternatywa p v q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy choć jedno ze zdań p, q jest prawdziwe.
def. (koniunkcja-iloczyn-zdań)
Koniunkcjš zdań p, q nazywamy zdanie p i q i zapisujemy symbolicznie: p ^ q. Wartoci logiczne zdania p ^ q w zależnoci od wartoci logicznych zdań p, q podane sš w tabelce:
|
p |
q |
p ^ q |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
Koniunkcja p ^ q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania p i q sš prawdziwe.
def.(implikacja zdań)
Ze zdań p, q można zbudować nowe zdanie postaci: jeżeli p, to q, które nazywamy implikacjš i zapisujemy symbolicznie p => q. Zdanie p nazywamy poprzednikiem, zdanie q następnikiem. Tabela logicznych wartoci implikacji jest następujšca:
|
p |
q |
p=>q |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
Implikacja jest wtedy i tylko wtedy fałszywa, gdy jej poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy.
def.(równoważnoć zdań)
Zdanie: p wtedy i tylko wtedy, gdy q, nazywamy równoważnociš zdań p i q i zapisujemy symbolicznie p<=>q.
Wartoci logiczne zdania p<=>q przedstawia tabela:
|
p |
q |
p<=>q |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
Równoważnoć p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy zdania p i q majš jednakowš wartoć logicznš.
def.(negacja-zaprzeczenie-zdania)
Jeli p jest zdaniem, to zdanie: nieprawda, że p nazywa się negacjš zdania p i oznaczane jest symbolem ~p
|
p |
~ p |
|
1 |
0 |
|
0 |
1 |
Zaprzeczenie zdania prawdziwego jest zdaniem fałszywym i odwrotnie: zaprzeczenie zdania fałszywego jest zdaniem prawdziwym.
Zwroty nieprawda, że, i, lub, jeżeli...to, wtedy i tylko wtedy, gdy nazywamy funktorami. Posługujšc się funktorami możemy ze zmiennych zdaniowych tworzyć tzw. wyrażenia rachunku zdań.
przykład:
1) [(p v q)=>q]<=>p
2) [(p ^ q)=>(p<=>q)] v q
Wyrażenia rachunku zdań, z których zawsze otrzymujemy zdania prawdziwe niezależnie od wartoci logicznych zmiennych zdaniowych, nazywamy prawami rachunku zdań - tantiologami.
Do sprawdzenia, czy dane wyrażenie jest prawem rachunku zdań, służy tzw. metoda 0-1 (zero-jedynkowa). Polega ona na rozpatrzeniu wszystkich układów wartoci logicznych zmiennych zdaniowych występujšcych w danym wyrażeniu.
przykład:
Sprawd, czy dane wyrażenia sš prawem rachunku zdań.
a)p<=>~ (~ p)
|
p |
~ p |
~(~p) |
p<=>~(~ p) |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
wyrażenie jest prawem rachunku zdań
b)(p v q)<=>(q v p)
|
p |
q |
p v q |
q v p |
(p v q)<=>(q v p) |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
wyrażenie jest prawem rachunku zdań
c)[(p=>q) ^ (q=>r)]<=>(p=>r)
|
p |
q |
r |
p=>q |
q=>r |
(p=>q) ^ (q=>r) |
p=>r |
[(p=>q) ^ (q=>r)]<=> (p=>r) |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
wyrażenie nie jest prawem rachunku zdań
d)~(p=>q)<=>(p ^ ~q)
|
p |
q |
p=>q |
~(p=>q) |
~q |
p ^ ~ q |
~(p=>q)<=>(p ^ ~ q) |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Tw.(zasada wyłšczonej sprzecznoci)
Żadne zdanie nie jest jednoczenie prawdziwe i fałszywe.
~(p ^~p)
|
p |
~p |
p ^ ~p |
~(p ^ ~p) |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
Zatem twierdzenie jest
prawdziwe.
Tw.(zasada wyłšcznego rodka)
Zdanie jest zawsze prawdziwe lub fałszywe; trzeciej możliwoci nie ma. p v ~p
|
p |
~p |
p v ~p |
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
Zatem twierdzenie jest
prawdziwe.
Tw.(prawo odrywania)
Jeli prawdziwa jest implikacja p=>q oraz jej poprzednik p, to również następnik q jest prawdziwy.
|
p |
q |
p=>q |
|
1 |
1 |
1 |
Zatem twierdzenie jest prawdziwe.
Tw. (prawo przechodnioci implikacji)
Jeli prawdziwe sš implikacje p=>q oraz q=>r, to również prawdziwa jest implikacja p=>r.
|
p |
q |
r |
p=>q |