Liczby rzeczywiste

I.Relacje.Działania.

1. W zbiorze liczb rzeczywistych określone są dwie relacje: równość (=), oraz mniejszość (<).

Prawo trychotomii. Dla każdych dwóch liczb rzeczywistych x, y zachodzi dokładnie jedno z trojga:

x = y albo x < y albo y < x

Zamiast x < y piszemy też y > x.

Relacja równości liczb rzeczywistych jest

a) zwrotna: x = x

b) symetryczna: x = y Þ y = x

c) przechodnia: [(x = y) Ù (y = z)] Þ x = z

Relację, która spełnia te trzy warunki, nazywamy relacją równoważnościową.

Relacja mniejszości jest

a) spójna: x ¹ y Þ [(x < y) Ú (y < x)]

b) antysymetryczna: x < y Þ ~ (y < x)

c) przechodnia: [(x < y) Ù (y < z)] Þ x < z

Relacja mniejszości porządkuje zbiór liczb rzeczywistych.

2. Działania arytmetyczne, są to następujące cztery działania:

dodawanie: x + y = s

składniki suma

odejmowanie: x - y = r

odjemna odjemnik różnica

mnożenie: x × y = p

czynniki iloczyn

dzielenie: x : y = q (y ¹ 0)

dzielna dzielnik iloraz

a) Odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania:

x - y = r Û r + y = x

b) Liczba 0 jest synonimem różnicy x - x.

Dla każdego x: x × 0 = 0

c) Liczbę x < 0 nazywamy ujemną, zaś liczbę x > 0 nazywamy dodatnią. Różnicę 0 - x oznaczamy - x

i nazywamy liczbą przeciwną względem x.

d) Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia:

x : y = q Û q × y = x

e) Liczbę , (x ¹ 0) nazywamy odwrotnością liczby x. Iloczyn liczby x i jej odwrotności jest równy 1.

f) Wynik każdego działania arytmetycznego jest określony jednoznacznie. W związku z tym

d z i e l e n i e p r z e z z e r o j e s t n i e w y k o n a l n e, ponieważ:

- jeżeli x ¹ 0, to iloraz x : 0 nie istnieje, gdyż żadna liczba q nie spełnia warunku q × 0 = x ¹ 0,

- jeżeli x = 0, to iloraz x : 0, czyli 0 : 0 nie istnieje, gdyż każda liczba q spełnia warunek q × 0 = o, (brak jednoznaczności).

g) Liczbę 0 nazywamy elementem obojętnym (modułem) dodawania, ponieważ dla każdego x:

x + 0 = x

h) Liczbę 1 nazywamy elementem obojętnym (modułem) mnożenia, ponieważ dla każdego x:

x × 1 = x

3. Działania arytmetyczne podlegają następującym prawom:

Prawo łączności dodawania

(x + y) + z = x + (y + z)

Prawo przemienności dodawania

x + y = y + x

Prawo łączności mnożenia

(x × y) × z = x × (y × z)

Prawo przemienności mnożenia

x × y = y × x

Prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania

(x + y) × z = x × z + y × z

4. Kolejność działań arytmetycznych ustalona jest następującymi umowami:

a)Przy obliczaniu wartości wyrażeń nie zawierających nawiasów wykonujemy najpierw mnożenia i dzielenia w kolejności ich występowania, a następnie dodawania i odejmowania w kolejności ich występowania.

b)Przy obliczaniu wartości wyrażeń zawierających nawiasy wykonujemy najpierw działania w tych nawiasach, wewnątrz których nie ma już innych.

5. Potęgowanie.

Niech n oznacza liczbę naturalną.

Def. Potęgę o podstawie a i wykładniku n oznaczamy symbolem aⁿ i określamy następująco

aⁿ =

a)Działania na potęgach.

Tw. Dla każdej liczby a i dla każdych dwóch liczb naturalnych m, n, zachodzi:

1) a^m × aⁿ = a^m+n

2) a^m : aⁿ = a^m^-ⁿ, dla a ¹ 0 i m > n

4) , dla b ¹ 0

5) (aⁿ)^m = aⁿ^×^m

Dowody tych twierdzeń opierają się na definicji potęgi; pozostawiamy je czytelnikowi.

6. Wzory skróconego mnożenia.

kwadrat sumy: (a + b)² = a² + 2ab + b²

kwadrat różnicy: (a - b)² = a² - 2ab + b²

sześcian sumy: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab²

sześcian różnicy: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

różnica kwadratów: a² - b² = (a - b)(a + b)

różnica sześcianów: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

suma sześcianów: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Wyprowadzenia tych wzorów polegają na wykonaniu odpowiedniego mnożenia; pozostawiamy je czytelnikowi.

Przykład.

Obliczyć wartość wyrażenia x = (a + b + c)

dla a = , b = 3 , c = .

R o z w i ą z a n i e: Ponieważ

_a₂_-_b2_-_{c2 + 2bc = a2}_-_(b2_-_{2bc + c2) = a2}_-_(b_-_{c)2 = (a + b}_-_c)(a_-_{b + c)}

_więc

_{x = (a + b + c) = (a + b + c)(a}_-_{b + c) =}

₌_[_{(a + c) + b}_]_×_[_{(a + c)}_-_b_]_{= (a + c)2}_-_b2

_{Podstawiając podane wartości a, b, c, otrzymamy x =
52}_-_{32 = 16}

_{Odp. 16.}

7. Pierwiastkowanie.

Niech n oznacza liczbę naturalną.

Def. Pierwiastek stopnia n z liczby a oznaczamy symbolem i określamy następująco

= p Û [(pⁿ = a) Ù (p ³ 0)]

Pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym do potęgowania. Warunek p ³ 0 zapewnia jednoznaczność pierwiastka.

Z definicji pierwiastka wynika, że dla n e N, a ³ 0 mamy

UWAGA!

Pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej:

Jeżeli n jest liczbą naturalną nieparzystą, zaś a jest liczbą ujemną, to przyjmujemy określenie:

Np.:

a) Działania na pierwiastkach.

Tw. Dla każdych dwóch nieujemnych liczb a, b i dla każdej liczby naturalnej n, zachodzą wzory:

1) ,

2) , dla b ¹ 0

3) ,

4) .

Dowody tych twierdzeń opierają się na definicji pierwiastka; pozostawiamy je czytelnikowi.

8. Proporcje.

Iloraz dwóch wielkościnazywamy stosunkiem.

Jeżeli dla czterech wielkości a, b, c, d tworzących parami stosunki zachodzi równość tych stosunków, czyli

to mówimy, że wielkości te tworzą proporcję.

Ze względu na drugą postać zapisu wyrazy a, d nazywamy skrajnymi, a wyrazy b, c - środkowymi.

Mnożąc proporcję stronami przez bd otrzymujemy:

ad = bc

Iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi wyrazów środkowych.

Jeżeli z czterech wielkości tworzących trzy są znane, to możemy zawsze wyznaczyć czwartą proporcjonalną przekształcając odpowiednio proporcję.

Np.

- Jeżeli stosunek dwóch wielkości zmiennych jest stały: = const to mówimy, że wielkości te są wprost proporcjonalne.

- Jeżeli iloczyn dwóch wielkości zmiennych jest stały: ab = const to wielkości te są odwrotnie proporcjonalne.

Przykład.

Trzech wspólników założyło przedsiębiorstwo i wniosło do niego udziały m, n, p. Po upływie określonego czasu przedsiębiorstwo przyniosło dochód a, który powinien być podzielony proporcjonalnie do udziałów. Wyznaczyć udział każdego wspólnika w czystym zysku.

Rozwiązanie:

Oznaczamy poszukiwane udziały w zyskach przez x, y, z. Wobec tego: