Temat: Wiadomości wstępne.

AKSJOMAT - w, którym zawarta jest pewna nieudowadnialna prawda. Jest to pewnik. Aksjomatów nie udowadnia się.

NAUKA DEDUKCYJNA - nauka opierająca się na zbiorze aksjomatów, pewników.

GEOMETRIA - dział matematyki , którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi.

FIGURA GEOMETRYCZNA - dowolny zbiór punktów.

Kawałek historii geometrii!

Geometria rozwijała się od najdawniejszych czasów. Istniała głównie jako nauka praktyczna ( pomiary odległości, konstrukcje budowlane ). Pierwsze próby budowy geometrii jako nauki podjęto w VI wieku p.n.e. w Grecji, tam też nadano jej nazwę geo - ziemia, metro- mierzę.

Grecy w myśl koncepcji przyczyna powoduje skutek odpowiadali na dwa pytania: jak? i dlaczego?. Geometria posługuje się abstrakcją ( myśleniem abstrakcyjnym ), to jest oderwaniem od konkretnej materii niezmiennym w czasie.

Złoty wiek Grecji dał kilku wybitnych uczonych:

Tales z Miletu, Pitagoras, Arystoteles, Zenon z Elei, Archimedes.

Z czasem geometria ulegała rozwojowi powstawały coraz to nowsze jej gałęzie. W odrodzeniu powstała geometria rzutowa. Na przełomie XVII i XVIII wieku powstała geometria analityczna (Kartezjusz ) związana z powstaniem nowych linii. W XIX wieku powstała geometria różniczkowa ( Riemann ). Pozwalała ona między innymi wyznaczyć kąt przecięcia krzywych posługując się rachunkiem pochodnych. Równolegle nastąpił powrót do rozważań czysto geometrycznych dając podstawy geometrii wykreślnej.

Pod koniec XIX wieku matematycy ( Łobaczewski ) pracowali nad zaprzeczeniem aksjomatów Euklidesa co w efekcie doprowadziło do powstania geometrii nieeuklidesowej ( geometrii Łobaczewskiego ).

ELEMENTY( matematyczne dzieło EUKLIDESA).

Euklides wydał swoje dzieło w III wieku p.n.e. Zawierało ono całą ówczesna wiedzę matematyczną. Zostało wydane we wszystkich językach świata. Euklides przyjął bez dowodu kilka twierdzeń, które nazwał aksjomatami ( pewnikami ) i z nich wyprowadził wszystkie pozostałe twierdzenia geometrii.

Dowodząc tw. geometrii powołujemy się na aksjomaty i twierdzenia poprzednio udowodnione. Teoria dedukcyjna musi być:

- niesprzeczna - aksjomaty muszą prowadzić do jednoznacznie brzmiących zdań

- niezależna - jeden aksjomat nie może być wnioskiem innego

- zupełna - każde twierdzenie musi dać się udowodnić z układu aksjomatów

Elementy Euklidesa składają się ze wstępu i XIII ksi [p1] ąg. We wstępie znajduje się 35 określeń, 5 aksjomatów i 5 postulatów.

KSIĘGA I - Twierdzenia o trójkątach ( m. in. Twierdzenie Pitagorasa ) i prostych.

KSIĘGA II - Algebra przedstawiona w sposób geometryczny.

KSIĘGA III,IV - Teoria okręgu. Wielokąty wpisane i opisane na okręgu.

KSIĘGA V - Teoria proporcji.

KSIĘGA VI - Teoria podobieństwa.

KSIĘGA VII -

KSIĘGA VIII - X - Arytmetyka liczb naturalnych.

KSIĘGA XI - XIII - Stereometria ( geometria przestrzenna ).

System geometrii euklidesowej posiadał pewne luki , które zostały usunięte przez Hilberta w 1899 roku. Hilbert ogłosił wolną od luk geometrię euklidesową.

Geometria euklidesowa powstaje z geometrii absolutnej w połączeniu z aksjomatem Euklidesa.

AKSJOMAT EUKLIDESA - przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna równoległa do danej.

Pojęciami pierwotnymi geometrii absolutnej są :

1.Relacje:

„ Є ” - incydencji „przynależności”

„ І ” - rozdzielania

„ º ” - przystawania

2.Zbiory:

{ A,B,C,...}- punkty

{ a,b,c,...} - proste

{ a,b,c,...} - płaszczyzny

Opiera się ona na czterech grupach aksjomatów: - incydencji

- rozdzielania

- przystawania

- ciągłości

Przykłady aksjomatów :

1.Z każdą prostą incydentne są co najmniej dwa punkty.

2.Jeżeli A çB çC to punkty ABC są współliniowe.

3.Od dowolnego punktu o należącego do prostej p można jednoznacznie po obu stronach odłożyć odcinki i przystające do danego odcinka .

A B

º º

Temat: Podstawowe pojęcia geometrii.

I .

Def. Odległością (metryką ) nazywamy funkcję d ,która każdej parze punktów przyporządkowuje nieujemną liczbę rzeczywistą oraz spełnia warunki:

1) d ( A,B ) = 0 Û A=B

2) d ( A,B ) = d ( B,A )

3) d ( A,B ) £ d ( A,C ) + d ( C,B ) -nierówność trójkąta

Przykład

1) Odległość na płaszczyźnie

[I2]

A ( 1,2 ) B ( 4.4 )

d ( A,B ) = =

A ( 1,2 ) B ( 4,4 )

d ( A,B) = 2 + 3 + 4 = 9

Def. Odcinkiem nazywamy zbiór wszystkich punktów leżących pomiędzy punktami A i B oraz punkty A i B .

={ P.; A|P|BÈAB}

Def. Długością odcinka nazywamy odległość jego końców i oznaczamy lub (AB)

Def. Punkt O należący do prostej k dzieli tę prostą na dwie części zwane pół prostymi.

Jeżeli dane są dwa punkty O i A to pół prostą o początku O i przechodzącą przez punkt A nazywamy zbiór wszystkich punktów P. takich, że:

O A lub OP.

Def. Dwie pół proste o wspólnym początku nazywamy kątem.

UWAGA:

Def. Część płaszczyzny wyciętą przez dwie pół proste o wspólnym początku nazywamy kątem.

1) Jeżeli ramiona kąta pokrywają się to kąt nazywamy zerowym.

2) Jeżeli ramiona kąta uzupełniają się do prostej to kąt nazywamy półpełnym .

Def. Okręgiem o środku O i promieniu r>O nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest równa r.

O(O,r)={

Def. Okręgiem o środku O i promieniu r>O nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest równa r.

O(O,r)={P.;d(O,P.)=r}

Jeżeli r = 0 to okrąg nazywamy zdegenerowanym.

Def. Kołem o środku O i promieniu r>O nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest nie większa niż r.

k(O,r)={P.;d(O,P.)£ r}

Figurę nazywamy ograniczoną jeśli zawiera się ona w pewnym kole.

Figurę nazywamy nieograniczoną jeśli nie zawiera się ona w żadnym kole.

1.Odcinek jest figurą ograniczoną.

2.Kąt jest figurą nieograniczoną.

Def. Otoczeniem kołowym pkt.A opromieniu r nazywamy zbiór {P.:d(A,P.)<r}.

Def. Punktem brzegowym figury F nazywamy punkt taki, że w każdym jego otoczeniu kołowym znajdują się zarówno punkty nie należące do niej.Zbiór wszystkich punktów figury nazywamy otoczeniem brzegowym figury F.

Def. Otoczeniem kołowym pkt. A o promieniu r nazywamy zbiór {P, d (A, P)< r}.

Def. Punktem brzegowym figury F nazywamy punkt taki, że w każdym jego otoczeniu kołowym znajdują się zarówno punkty nie należące do niej. Zbiór wszystkich punktów figury nazywamy otoczeniem brzegowym figury F.

Def. Punktem wewnętrznym figury F nazywamy punkt, który ma otoczenie zawarte w figurze F.

Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych nazywamy wnętrzem figury F.

Def. Punktem zewnętrznym figury F nazywamy punkt , który ma otoczenie wolne od punktów figury F.

Zbiór wszystkich punktów zewnętrznych nazywamy zewnętrzem figury F.

Def. Figurę F nazywamy wypukłą jeśli każdy odcinek, którego końce należą do figury F zawiera się w figurze F.

PRZYKŁAD

1) Figura wypukła

2) Figura niewypukła

II. Prosta na płaszczyźnie.

Dwie proste leżące na tej samej płaszczyźnie mogą

-mieć jeden punkt wspólny

-mieć wszystkie punkty wspólne

-nie mieć punktów wspólnych.

Def. Dwie proste k i l mające jeden punkt wspólny nazywamy prostymi przecinającymi się.

k Ç l={P}

Def. Jeśli proste k i l są identyczne to mówimy, że proste k i l pokrywają się .Piszemy k = l

Def. Mówimy, że proste k i l są równoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych.

(k||lÛ{kÇl = fÈk = l}

Tw. Relacja równoległość prostych jest:

1) zwrotna a||a

2) symetryczna a||bÞb||a

3) przechodnia (a||bÇb||c)Þ(a||c)

Def. Rodzinę wszystkich prostych równoległych do pewnej k nazywamy kierunkiem prostej k.

Def. Punkty leżące na jednej prostej nazywamy wspóliniowymi (kolinearnymi).

Def. Pękiem prostych o wierzchołku A nazywamy rodzinę wszystkich prostych przechodzących przez punkt A.

III. Wielokąty

Def. Niech dane będą punkty .

Sumę odcinków nazywamy łamaną , przy czym każde dwa odcinki albo są rozłączne , albo mają dokładnie jeden punkt wspólny.

Przykład:

Def. Jeżeli:

-dwa kolejne odcinki nie zawierają się w jednej prostej

-każde dwa odcinki nie mające wspólnego końca są rozłączne

-każdy wierzchołek łamanej jest wspólnym końcem co najwyżej dwóch odcinków,

to łamaną nazywamy zwyczajną.

Def. Jeżeli to łamaną nazywamy zamkniętą.

PRZYKŁAD:

Def. Wielokątem nazywamy sumę łamanej zamkniętej oraz figury ograniczonej wyciętej z płaszczyzny przez tą łamaną.

PRZYKŁAD:

a, b, c, d - boki wielokąta

A,B,C,D - wierzchołki wielokąta

[IL3] [IL4] - kąty wewnętrzne wielokąta

- kąty zewnętrzne wielokąta

IV. Okrąg

1. Wzajemne położenie dwóch okręgów.

AB>R+r AB<R-r

AB=R+r AB=R-r

R-r<AB>R+r

2.Twierdzenia o okręgu

Tw.1 (o kącie między styczną a cięciwą)

Kąt ostry między cięciwą i styczną do okręgu przechodzącą przez koniec cięciwy jest równy połowie kąta środkowego odpowiadającego cięciwie.

Tw.2 (o kącie środkowym i kątach wpisanych )

Wszystkie kąty wpisane w okrąg i oparte na tym samym łuku są równe między sobą i równe połowie kąta środkowego opartego na tym łuku.

WNIOSEK:

Jeżeli kąt oparty jest na średnicy to jest prosty.

Tw.3

Jeżeli sieczne okręgu przecinają się w punkcie M to iloczyn długości odcinków każdej siecznej zawartych między tym punktem i punktami przecięcia z okręgiem jest stały.