Przy  badaniu  otaczających  nas  przedmiotów  i  zjawisk  wprowadzamy  różne  wielkości , które  je  charakteryzują , i  staramy  się  wykryć  związki  między  tymi  wielkościami.

 

I. Pojęcie  funkcji .

Definicja:

               Niech  dane  będą  zbiory  X,Y 0 . Przyporządkowanie , które  każdemu  elementowi  zbioru  X  przypisuje  dokładnie  jeden  element   zbioru  Y  nazywamy   funkcją , co  zapisujemy :  f:XY               y = f ( x )

 

                                    X                      Y

                                    x1                            y2

                                 x3                        y3

                                 x2                        y2             

 

x-  argument  funkcji ( zmienna  niezależna )

y-  wartość  funkcji ( zmienna  zależna )

f - określa  funkcję

X-  zbiór  argumentów ( dziedzina  funkcji )

Y-  zbiór  wartości  funkcji ( przeciwdziedzina )

 

II. Sposoby  określania  funkcji .

1. Przypis  słowny :

    Każdemu  X  przyporządkowany  jest  jeden  Y .

2. Przy  pomocy  tabelki

x

-2

0

3

5

f (x)

-6

0

6

15

 

 

 

3. Graficznie

    3                       9        

     0                        0

    -3                     -9

 

4. Przy  pomocy  wzoru

  f : R  R

  f (x) = 3x

 

5. Za  pomocą  wykresu

                                   y    

                                                      

                                                    

                                                     x

 

 

 

III. Funkcja  „na”.

Definicja :

                 Mówimy , że  funkcja  f : X Y  jest  „na” , jeśli  każdy  element  y  Y  jest  przyporządkowany  conajmniej  jednemu  elementowi  x   X .

                                

                                   x1                      y1

                                   x2   x3                y2              

 

 

 

Przykład :

                 y = x2                     

 X = {-3 ,0 ,1 ,3 }

 Y = {0 , 1 ,9 }

 

 

                           -3                            9

                           0                                 0

                           3    1                       1    

 

             

IV. Funkcja  różnowartościowa  i  wzajemnie  jednoznaczna .

Definicja :

                 Mówimy , że  funkcja  jest  różnowartościowa , jeżeli  element  yY  jest  przyporządkowany  dokładnie  jednemu  elementowi  x X .

 


                               x1                            y1

                                  x2                         y2

 

Przykład

   y = x3

X = {-3 ,0 ,3 }

Y = {-27 ,0 ,27 }

                                       

                                           -3                       -27

                                          0                         0

                                              3                        27

 

 

 

 

Definicja :

                 Funkcję  f : X Y  nazywamy  wzajemnie  jednoznaczną , jeśli  jest  różnowartościowa  i  „na” .

 

 

 

V. Obraz  i  przeciwobraz  zbioru .

Definicja :

                 Obrazem  zbioru  AX  wyznaczonym  przez  funkcję  f  nazywamy  zbiór  wartości  funkcji  f  dla  argumentów  należących  do  zbioru  A .

                 f (A) = { y Y ;  y = f (x)  xA }

 

Definicja :

                 Przeciwobrazem  zbioru  CY  wyznaczonym  przez  funkcję  f  nazywamy  zbiór , którego  elementami  są  te  x , których  obrazy  należą  do  zbioru  C .

                 f- -1(C) = { xX ,  f(x)  C }

 

VI .Funkcja  liczbowa .

Definicja :

                 Jeżeli  zbiory  X i Y  są  zbiorami  liczbowymi , to  funkcję  f  nazywamy  funkcją  liczbową.

Działania  na  funkcjach :

1.   (f + g)(x) = f(x) + g(x)

2.   (f - g)(x) = f(x) -  g(x)

3.   (f × g)(x) =  f(x) ×  g(x)

4.    (x) =  ,  g(x) 0

Definicja :

                 Mówimy , że  funkcje  f : DR  i  g : DR  są  równe  ( f = g ) , obie  dziedziny  są  takie  same , i  dla  każdego  x  zachodzi : f(x) = g(x) .

 

 

Przykład

f(x) =              D= R \ {o}

g(x) = x                 D= R

          DD

Czyli  obie  funkcje  są  różne .

 

1. Układ  współrzędnych  na  płaszczyźnie .

Definicja :

                 Układem  współrzędnych  prostokątnych  na  płaszczyźnie  nazywamy  parę  osi  liczbowych  wzajemnie  prostopadłych , przy  czym  punkt  przecięcia  tych  osi  zwany  początkiem  układu  jest  punktem  zerowym  każdej  z  nich .

                                           y

                          II                       I

           

                                                                 x

                          III                     IV

 

 

Oś  poziomą  oznaczamy  OX  i nazywamy  osią  odciętych . Oś  pionową  oznaczamy  OY i nazywamy  osią  rzędnych . Taki  układ  współrzędnych  oznaczamy  OXY . Dzieli  on  płaszczyznę  na  cztery  ćwiartki . Każdemu  punktowi  płaszczyzny  przyporządkujemy  parę  liczb : odciętą  x  i  rzędną  y . Liczby  x  i  y  nazywamy  współrzędnymi A ,  co  zapisujemy  A ( x,y ) .

Twierdzenie :

                 Każdej  uporządkowanej  parze  liczb  rzeczywistych  odpowiada  na  płaszczyźnie  dokładnie  jeden  punkt , którego  współrzędnymi  są  te  liczby  i  odwrotnie ,  każdy  punkt  na  płaszczyźnie  ma  dokładnie  jedną  parę  współrzędnych .

 

Przykład

Zacieniuj  zbiór  tych  wszystkich  punktów  płaszczyzny , których  współrzędne  spełniają  warunki :

 x 3  i  y > 2               y

                                 2

                                              3                            x

 

 

 

2. Iloczyn  kartezjański .

Definicja :

                 Zbiór  wszystkich  par  uporządkowanych (x , y ) takich , że  x X  i  y Y  nazywamy  iloczynem  kartezjańskim , co  oznaczamy :

                                                  XY

Przykład

                 Mamy  dane  dwa zbiory  A i B . Wyznacz  iloczyn  kartezjański .

A = {a ,b ,c }

B = {e ,f }

Podajemy  zbiór  wszystkich  uporządkowanych  par  elementów .

AB = { (a,e),(a,f),(b,e),(b,f),(c,e),(c,f) }

czyli :

AB = 6

 

3. Wykres  funkcji .

Definicja :

                 Wykresem  funkcji  nazywamy  zbiór  wszystkich  punktów  płaszczyzny  o  współrzędnych  x  i  y , takich , że  x  należy  do  dziedziny  funkcji  a  y  jest  odpowiednią  wartością .

Przykład

Naszkicuj  wykres  funkcji :

f (x) = 2x + 1

 

 

 

                                                          y

                                                                                                                                     

                                                                                                                                     

                                                                                                                                      

                                                                                    1                                      

                                                                                                                             x

                                                                      -                 

 

 

 

 

4. Miejsca  zerowe .

Definicja :

                 Miejscem  zerowym  funkcji  nazywamy  tę  wartość argumentu , dla  której  funkcja  przybiera  wartość  zero .

Przykład

Wyznacz  miejsce  zerowe  funkcji : f (x) =x - 2

 x - 2 =0

 x = 2