FUNKCJE WYMIERNE
Temat 1 : Pojęcie funkcji wymiernej
Niech W1(x) i W2(x)
0 będą wielomianami.
Niech A będzie zbiorem pierwiastków
wielomianu W2(x) i D=R/A.
Def.
Funkcję F:D®R daną wzorem F(x)=
nazywamy funkcją wymierną.
Przykład:
F(x)=
D=R
F(x)=
D=R/{-1,1}
Uwaga:
1) Każdy wielomian jest funkcją
wymierną:
F(x)=
=W(x)
2) Funkcje F1(x)=
i F2(x)=x nie są równe bo mają
różne dziedziny.
F1(x)= D=R/{0}
F2(x)=x D=R
3) Analogicznie określa się
funkcję wymierną wielu zmiennych, np.:
F(x,y)=
x¹y
Zadanie 1.
Wyznacz dziedzinę funkcji
1) F(x)=
D: 
zatem x¹2 Ù x¹3
czyli D=R/{2,3}
2) F(x)=
D: 
¹0
(x+1)+(x+1)¹0
(+1)(x+1)¹0
x¹-1
D=R/{-1}
Funkcje wymierne (podobnie jak
wielomiany) tworzą zbiór, w którym można określić działania +, -, ×, : .
Zadanie 2.
Wyznaczyć sumę, różnicę,
iloczyn i iloraz funkcji:
1) F1(x)=
i F2(x)=
D1=R/{-5,5} D2=R/{-5}
F1(x)+ F2(x)=
D=R/{-5,5}
F1(x)- F2(x)= 
D=R/{-5,5}
F1(x)× F2(x)=
D=R/{-5,5}
F1(x): F2(x)=
D=R/{-5,5}
2) F1(x)=
i F2(x)=
D1=R/{7} D2=R/{-1}
F1(x)+ F2(x)=
D=R/{-1,7}
F1(x)- F2(x)=
D=R/{-1,7}
F1(x)× F2(x)=
D=R/{-1,7}
F1(x): F2(x)=
D=R/{-1,7}
3) F1(x)=
i F2(x)=
D1=R/{0} D2=R/{0,1}
F1(x)+ F2(x)=
D=R/{0,1}
F1(x)- F2(x)=
D=R/{0,1}
F1(x)× F2(x)=
D=R/{0,1}
F1(x): F2(x)=
D=R/{0,1},
z¹0
Zadanie 3.
Doprowadź do najprostszej postaci:
1) 
D: 
¹0 Ù y¹0 Ù a+b¹0
D={ (x,y) ; x¹0 Ù y¹0 } , a¹-b
2) 
D: 
Þ y(x-2y)¹0
y¹0 Ù x¹2y
D= { (x,y) ; y¹0 Ù x¹2y }
Zadanie 4.
Wykonaj działania:
1) 
=
a,b,c
¹ 0
2)
a,b,c
¹ 0
3) 
Zadanie 5. (do samodzielnego
rozwiązania)
Doprowadź do najprostszej postaci:
1) 
2) 
Zadanie 6. (do samodzielnego
rozwiązania)
Wykonaj działania:
1) 
2) 
Temat 2 : Równania wymierne.
Def.
Niech f: D®R będzie funkcją wymierną. Równanie F(x)=0
nazywamy równaniem wymiernym.
Przykład:
Uwaga
1) Jeśli znak „=” zastąpimy
jednym ze znaków: „<” , „>” , „£” , „³” to otrzymamy nierówność
wymierną.
2) Równania wymierne
rozwiązujemy według ustalonego porządku:
a) wyznaczamy dziedzinę
równania;
b) sprowadzamy do wspólnego
mianownika;
c) rozwiązujemy równanie
równoważne;
d) sprawdzamy, czy rozwiązanie
należy do dziedziny;
e) podajemy odpowiedź.
Zadanie 1.
Rozwiąż równanie:
1) 
D=R/{0}
m1=-1 Ú m2=1,5
Odp. Rozwiązaniem równania jest m=-1 lub m=1,5.
2) 
D: 
-+x-1¹0 Ù x+1¹0 Ù 
-1¹0 Ù ++x+1¹0
(x-1)( +1)¹0 Ù x¹-1 Ù (x-1)(x+1)(+1)¹0 Ù(x+1)( +1)¹0
D=R/{-1,1}
x=4
Odp. Rozwiązaniem równania jest x=4.
3) 
D: 2x-2¹0 Ù 6-6¹0 Ù x+1¹0 Ù 3x+3¹0
x¹1 Ù x¹1 Ù x¹-1 Ù x¹-1 Ù x¹-1
D=R/{-1,1}
60x+60+3
Stąd x1=-9 Ú x2=-2
Odp. Rozwiązaniem równania
są x1=-9 Ú x2=-2.
Zadanie 2 (do samodzielnego
rozwiązania)
Rozwiązać równanie:
1) 
2) 
Temat 3 : Równania wymierne z wartością bezwzględną
Zadanie 1.
Rozwiąż równanie:
1)
D=R/{-1}
|
I.
x-1³0 x³1
x= nie spełnia warunku x³1 |
II.
x-1<0 x<1
|
