FUNKCJA LINIOWA

DEFINICJA

   Funkcję f : R ®  R daną wzorem f (x) = ax + b gdzie a , b Î R nazywamy funkcją liniową.

Np. f (x) = 3x - 5  ; a = 3 , b = - 5

       f (x) = - x +2  ; a = -1 , b = 2 

I.  Funkcja postaci f (x) = ax

  Funkcja postaci f (x) = ax jest szczególnym przypadkiem funkcji liniowej, w którym b = 0. Funkcję liniową tej postaci nazywamy jednomianem pierwszego stopnia.

TWIERDZENIE

   Wykresem każdej funkcji postaci f (x) = ax jest prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych i odwrotnie - każda prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych (różna od OY) jest wykresem pewnej funkcji postaci f (x) = ax.

DEFINICJA

   Kątem nachylenia prostej do osi OX nazywamy kąt skierowany dodatni między osią OX i daną prostą.

                                   Y                                                                                        Y           

                                        a                                                                                 a

                                  0                                                                                  0

                                                                X                                                                                       X                                                                            

  y = ax + b                                                                                                                            y = ax + b 

TWIERDZENIE

   Prosta będąca wykresem funkcji f(x) = ax jest nachylona do osi OX pod kątem , którego tangens jest równy spółczynnikowi a.

 a = tg a

DOWÓD

                                                       Y                                                                       

                                                                          P (x , y)          

                                                          a                              

                                                     0                   P’             X      

                                f (x) = ax

   Niech punkt P (x , y) będzie dowolnym punktem wykresu funkcji f (x) = ax. Punkt P ma

współrzędne  x , ax.

Z określenia funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego mamy :

tg a =  =  = a

tg a = a     c. n. d.                 

WNIOSEK

1.

    A.

   Jeśli a > 0, to funkcja f (x) = ax jest rosnąca, a kąt nachylenia a jest ostry.

    B.

   Jeśli a < 0, to funkcja f (x) = ax jest malejąca, a kąt a jest rozwarty.

    C.

   Jeśli a = 0, to funkcja f (x) = ax jest stała (jej wykres pokrywa się z osią OX) i kąt nachylenia jest równy 0°.

2.

   f (x) = ax

   Geometrycznie współczynnik a odpowiada obrotowi prostej wokół początku układu współrzędnych.

                                                                       Y

                                                                                                            X    

II.  Funkcja postaci f(x) = ax + b

   Niech dane będą funkcje f (x) = 2x , g (x) = 2x + 3 .

y = 2x

y = 2x + 3

Zauważmy , że wykres funkcji g możemy otrzymać z wykresu funkcji f , przesuwając go o wektor .

Ogólnie :

   Wykres funkcji f (x) = ax + b powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f (x) = ax o wektor

 =  .

III. Własności funkcji liniowej

A. a > 0                                                    Y

                                                               B    b

                                                   A                                                           X

                                                  -           0

                    y = ax + b

1.   D = R

2.    y = R

     f (D) = R

3.   Punkt przecięcia z osiami

OX :   x = -   , y = 0    

         A ( - , 0 )          

OY :   x = 0    ,  y = b

        B ( 0 , b )

4.   Funkcja jest rosnąca

DOWÓD

   Weźmy x₁ < x₂

wtedy x₁ - x₂ < 0

Rozważmy różnicę :

f (x₁) - f (x₂) = ( ax₁ + b ) - ( ax₂ + b ) = ax₁ - ax₂ = a ( x₁ - x₂ ) < 0

f (x₁) - f (x₂) < 0

f (x₁) < f (x₂)

x₁ < x₂ Þ f (x₁) < f (x₂)   c. n. d.   

5.   Wartość funkcji :

dla x Î ( - ¥ , - )  ujemna

dla x Î ( - , - ¥ )  dodatnia

B. a < 0                               

                                                             Y     

                                                                   b

                                                           B                             

                                                                   0         A                       X  

                                                                                                                     y =  ax + b

1.   D = R

2.   y = R

     f (D) = R

3.  Punkt przecięcia z osiami

OX :   x =    , y = 0

        A ( , 0 )

OY :   x = 0   , y = b

        B ( 0 , b )

4.   Funkcja jest malejąca

DOWÓD

   Weźmy x₁ < x₂

wtedy x₁ - x₂ < 0    

f (x₁) - f (x₂) = ( ax₁ + b ) - ( ax₂ + b ) = ax₁ + b - ax₂ - b = ax₁ - ax₂ = a ( x₁ - x₂ ) > 0

f (x₁) - f (x₂) > 0

f (x₁) > f (x₂)

x₁ < x₂ Þ f (x₁) > f (x₂)   c. n. d.

C. a = 0                                           

                                                                Y

                                                                      A            y = b    

                                                                                                         X

                                                                       0

1.   D = R

2.