FUNKCJA
KWADRATOWA
JEDNOMIAN II STOPNIA
Definicja. Jednomianem II -go
stopnia nazywamy funkcję
f(x) R→ R daną wzorem
f(x) = ax2 ,gdzie a≠0
i aÎR
np. f(x)=x2
f(x)= -3x2
f(x)=
x2
|
a>0 np. f(x) = x2 |
A<0 Np. f(x) = -x2 |
||||||||||||
|
X |
-3 |
-2 |
-1 |
- |
0 |
|
X |
-3 |
-2 |
-1 |
- |
0 |
|
|
Y |
9 |
4 |
1 |
|
0 |
|
Y |
-9 |
-4 |
-1 |
- |
0 |
- |
|
1)Wykresem funkcji jest krzywa
zwana parabolą. 2)Funkcja jest
parzysta. F(x) = f(-x) F(x) = ax2 F(-x) =
a(-x)2=ax2 3) Funkcja przyjmuje wartości
nieujemne . 4) Funkcja przyjmuje wartość
najmniejszą w wierzchołku (x=0);funkcja nie
przyjmuje wartości największej. 5) Twierdzenie Funkcja
y = ax2 jest
malejąca w przedziale (-¥ , 0) i rosnąca w
przedziale (0 , +¥). Dowód Weźmy
dowolne x1
< x2 i rozpatrzmy
różnicę F(x2)
- f(x1) = ax22 - ax12
= a(x22 - x12 ) = =a(x2 - x1) (x2 + x1) Ponieważ
a >0 i (x2 - x1 )>0 to
znak różnicy F(x2) - f(x1) zależy od
sumy (x2 + x1) a) Jeżeli x1 < x2 <0 to (x1 + x2) < 0
i różnica f(x2) - f(x1) <0 f(x2) < f(x1) Zatem
funkcja w zbiorze
R - jest malejąca. b) Jeżeli 0 < x1 < x2 to (x1
+ x2) > 0 i różnica f(x2) - f(x1) >0 f(x2) > f(x1) Zatem
funkcja w zbiorze
R + jest rosnąca. |
1)Wykresem funkcji jest krzywa
zwana parabolą. 2)Funkcja jest
parzysta f(x) =f(-x) f(x) =
-ax2 f(-x) =
-a(-x)2 = -ax2 3) Funkcja przyjmuje wartości
niedodatnie. 4) Funkcja przyjmuje największą
wartość w wierzchołku (x =0); funkcja nie
posiada wartości największej. 5) Twierdzenie Funkcja
y = -ax2 jest rosnąca
w przedziale (-¥ ,0) i malejąca w przedziale
(0 ,+¥). Dowód Weźmy
dowolne x1
< x2 i rozpatrzmy
różnicę F(x2)
- f(x1) = -ax22 -(- ax12
)= -a(x22 - x12 ) = =-a(x2 - x1) (x2 + x1) Ponieważ
a <0 i (x2 - x1 )>0 to
znak różnicy F(x2) - f(x1) zależy od
sumy (x2 + x1) a) Jeżeli x1 < x2 <0 to (x1 + x2) > 0
i różnica f(x2) - f(x1) > 0 f(x2) > f(x1) Zatem
funkcja zbiorze R -
jest rosnąca. b) Jeżeli 0 < x1
< x2 to (x1
+ x2) < 0 i różnica f(x2) - f(x1) <0 f(x2) < f(x1) Zatem
funkcja w zbiorze
R +jest malejąca. |
Przykład. W jednym
układzie współrzędnych
naszkicuj wykresy funkcji :
y =x2 ; y = 2x2 ; y = 3x2 ; y = 
x2 ; y = 
x2.
Seria 1 y=2x
Seria 3 y=3x2
Seria 5
y=x2
Seria 7 y=
Seria
9 y=
WNIOSEK
1.Jeżeli
a>0 to ramiona
paraboli zwrócone są
ku górze.
Jeżeli a<0 to
ramiona paraboli zwrócone
są ku dołowi.
2. Współczynnik a
decyduje o kształcie paraboli.
Postać ogólna i kanoniczna
trójmianu kwadratowego.
Definicja. Funkcję f: R®R daną
wzorem f(x) = a(x-p)2 + q
,(gdzie a¹0) nazywamy postacią
kanoniczną funkcji.
Twierdzenie. Wykresem funkcji y = a(x-p)2
+ q jest
parabola powstała w
wyniku przesunięcia wykresu
funkcji y=ax2 o wektor
[p,q].
Przykład. Narysuj wykres funkcji.
a)y=(x-1)2-2
Kolejne
kroki.
1)y=x2
2)y=x2 przesuwamy o
wektor [1,-2]
Przykład.
Przekształć wyrażenie.
a) y=(x-1)2 -2=x2-2x+1-2=x2-2x-1
b) y= -(x+
)2+3=-(x2+x+
)+3=-x2 -x +
c) y=2(x+2)2-1=2(x2+4x+4)-1=2x2+8x+7
Definicja.
Funkcję f: R®R postaci f(x) = ax2+bx+c ; a¹0 nazywamy
postacią ogólną funkcji kwadratowej (trójmianem
kwadratowym).
Definicja.
Wyrażenie D=b2-4ac nazywamy wyróżnikiem
( deltą ) funkcji kwadratowej.
Przykład. Oblicz wyróżnik funkcji.
a) y= x2-2x-1
a=1
b=-2 D= b2-4ac
c=-1 D=4+4=8
b) y=-
x2+px+
a=- D=b2-4ac
b=p D=p2+24
c=
c) y=2x2+8x+7
a=2 D=b2-4ac
b=8 D=64-4×2×7=64-56=8
c=7
Przykład. Zamień postać ogólną trójmianu kwadratowego na postać
kanoniczną.
a) y=x2-2x-1
y=(x2-2x+1)-2
y=(x-1)2-2
b) y=2x2+8x+7
y=2(x2+4x)+7
y=2(x2+4x+4)-1
y=2(x+2)2-1
Twierdzenie. Postacią kanoniczną trójmianu
kwadratowego y=ax2+bx+c jest
y= a(x+
)2-
Dowód.
Postać
kanoniczna trójmianu.
Y= a (x -p)2+q
Y=ax2+bx+c a¹0
a(x -p)2+q=ax2+bx+c
a(x2-2xp+p2)+q
=ax2+bx+c
ax2-2apx+ap2+q=ax2+bx+c
-2apx+ap2+q=bx+c
b=-2ap Þ p=-
c=ap2+q
Þq=c-ap2=c-a(-)2=c-a
=c-
= 
-=
=
=-
p=-
q=-
y =a(x -p)2+q
y =a(x+)2-
c.n.d.
WNIOSEK
Wierzchołek paraboli ma
współrzędne (-,-).
Zadanie 1. Narysuj wykres funkcji
a) y=-(x+)2+3
b) y=(x+2)2-1
c) y=
a) Kolejne kroki :
1) y=x2
2) y=-x2 , [-,3]
b) Kolejne kroki :
1) 
y=x2
2) y=x2 , [-2,-1]
c) Kolejne
kroki :
Przekształcamy funkcję z
postaci ogólnej na
kanoniczną.
Y=
Rysujemy:
1) 
y=x2
2) y=x2 , 
3) y= 
Zadanie 2. Wyznacz
współczynnik b trójmianu
y=2x2+bx+1 , jeśli wiadomo , że do jego wykresu należy punkt
o współrzędnych P(1,6)
Jeśli punkt P należy do wykresu trójmianu to musi spełniać
jego równanie ,czyli f(1)=6
Y=2x2+bx+1
6=2×1+1b+1
6=2+b+1
b=6-3
b=3
Odp. Szukany współczynnik b jest równy 3.
Zadanie 3. Przekształć wyrażenie
a) z
postaci kanonicznej w ogólną
Odp.
b) z postaci ogólnej w kanoniczną
Obliczamy wyróżnik funkcji.
a=p
b=
D=b2-4ac
c=