1. POJĘCIE CIĄGU

Def.	Funkcję odwzorowującą zbiór N-liczb naturalnych w pewien niepusty zbiór Y nazywamy ciągiem nieskończonym.

UWAGA!

N={1,2,3,…}

Przykład

N={1,2,3,…}

Y={*,!,#}

n	1	2	3	4	5	…
f(x)	*	!	*	#	!

Wartość f(n) funkcji f dla argumentu n nazywamy n-tym wyrazem ciągu i oznaczamy a_n , zaś sam ciąg oznaczamy (a_n), {a_n}, (a₁ , a₂ , a₃ , …).

(*, !, *, #, !, …)

f(1) = * = a₁

f(2) = ! = a₂

Def. Ciągiem skończonym nazywamy funkcję, która odwzorowuje pewien skończony zbiór początkowych liczb naturalnych w niepusty zbiór Y.

UWAGA!

N={1,2,3,…,n}

Przykład

N={1,2,3}

Y={a,b,c,d}

n	1	2	3
f(x)	a	c	d

(a,c,d)

Def. Ciąg, którego wyrazy są liczbami nazywamy ciągiem liczbowym.

Przekład

N={1,2,3}

Y={5,4,3}

n	1	2	3
f(x)	4	3	5

(4,3,5)

OKREŚLENIE CIĄGU

Ciąg możemy określić za pomocą:

1. przepisu słownego

np. każdej liczbie naturalnej przyporządkowujemy jej odwrotność

2. wzoru ogólnego

np.

3. wzoru rekurencyjnego

np.

Przykład

Wyznacz 6 początkowych wyrazów ciągu (a_n), a następnie sporządź jego wykres

n

WŁASNOŚCI CIĄGÓW LICZBOWYCH

1. Monotoniczność

Ciąg jest rosnący

Ciąg jest malejący

Ciąg jest stały

Ciąg niemalejący (nierosnący) nazywamy monotonicznym.

Ciąg rosnący (malejący) nazywamy ściśle monotonicznym.

Przykład

Zbadaj monotoniczność ciągu

Ciąg jest rosnący

2. Ograniczenia

Def. Mówimy, że ciąg jest ograniczony z góry, jeśli istnieje liczba M taka, że

Mówimy, że ciąg jest ograniczony z dołu, jeśli istnieje liczba m taka, że

Mówimy, że ciąg jest ograniczony, jeśli jest ograniczony z dołu i z góry

Przykład

n

Ciąg jest ograniczony

2. INDUKCJA MATEMATYCZNA

Przykład

Sprawdź równość

L = 1 + 2

L = P

L = 1 + 2 + 3

L = P

L = 1 + 2 + 3 + 4

L = P

L = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

L = P

UWAGA !!!

Nie wolno zapisywać równości na zasadzie analogii.

I. DOMINO

Przyjmijmy, że ustawiono jedna za drugą nieskończenie wiele kostek domina. Aby być pewnym, że wszystkie kostki się przewrócą, muszą być spełnione dwa warunki:

1.) przewróciła się pierwsza kostka

2.) kostki są tak ustawiona, że przewrócenie którejkolwiek z nich spowoduje upadek następnej

Zasada, która mówi, że sztuka z kostkami domina musi się udać nazywa się zasadą indukcji matematycznej

II. INDUKCJA MATEMATYCZNA (ZUPEŁNA)

jest metodą dowodzenia twierdzeń o liczbach naturalnych.

Tw.

Niech Tn oznacza twierdzenie, w którym mowa jest o liczbie naturalnej n. Metoda indukcji matematycznej opiera się na następującej zasadzie: Jeżeli istnieje taka liczba naturalna n0 , że: 1.) twierdzenie Tn0 jest prawdziwe; 2.) dla każdej liczby naturalnej k ³ n0 z prawdziwości twierdzenia Tk wynika prawdziwość twierdzenia Tk+1 , to twierdzenie Tk jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej n ³ n0 .

Dowód przeprowadzony metodą indukcji matematycznej nazywamy

dowodem indukcyjnym.

Przykład

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest równość:

( 0 )

Rozwiązanie

Skorzystajmy z zasady indukcji matematycznej

1.) dla n = 1 równość jest oczywiście prawdziwa

2.) niech k ³ 1 oznacza dowolną liczbę naturalną. Wykażemy, że jeśli dowodzona równość jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej k, tzn. jeżeli

zał.

( 1 )

to jest także prawdziwa dla następującej liczby naturalnej, czyli dla k + 1

teza:

( 2 )

Dodając (k + 1)³ do obu stron równości ( 1 ) otrzymujemy

Ponieważ więc ostatecznie zachodzi równość ( 2 ).

Na mocy indukcji matematycznej równość ( 0 ) jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n.

Zadanie1.

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n suma 4ⁿ + 15n + 17 jest podzielna przez 9.

Rozwiązanie

Niech a_n = 4ⁿ + 15n + 17. Twierdzeniem T_n , które mamy udowodnić, jest zdanie: dla każdej liczby naturalnej n liczba a_n jest podzielna przez 9. Stosujemy zasadę indukcji matematycznej.

1.) Dla n = 1 mamy a_n = 4 + 15 + 17 = 36 , zatem twierdzenie T₁ jest prawdziwe.

2.) Niech k ³ 1 oznacza dowolną liczbę naturalną. Wykażemy, że z podzielności a_k przez 9 wynika podzielność a_k+1 przez 9. Istotnie

a_k+1 = 4^k+1 + 15(k+1) + 17 = 4(4^k + 15k + 17) - 9(5k + 4)

Jeśli zatem a_k = 4^k + 15k + 17 jest podzielne przez 9, to ponieważ 9(5k + 4) jest podzielne przez 9, więc a_k+1 jest także podzielne przez 9. Dla każdej liczby naturalnej k ³ 1 z prawdziwości twierdzenia T_k . Na podstawie zasady indukcji matematycznej stwierdzamy więc, że dla każdej liczby naturalnej n suma 4ⁿ + 15n + 17 jest podzielna przez 9.

Zadanie 2.

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi:

n² ³ n

1.) Dla n = 1 mamy n² 1² ³ 1 ; 1 ³ 1 zatem twierdzenie T₁ jest prawdziwe.

2.) założenie n² ³ n

teza (n + 1)² ³ n + 1

dowód (n + 1)² = n² + 2n + 1 ³ n² + 1 ³ n + 1

zatem (n + 1)² ³ n + 1

Na mocy zasady indukcji matematycznej nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej.

Tw.	(Nierówność Bernouliego) (1 + x)^n ³ 1 + nx dla x ³ -1

Zadanie 3.

Udowodnij nierówność Bernouliego.

1.) spr. n₀ = 1

(1 + x)¹ ³ 1 + 1x Zatem T₁ jest prawdziwe

1 + x ³ 1 + x

2.) założenie (1 + x)ⁿ ³ 1 + nx

teza (1 + x)ⁿ⁺¹ ³ 1 + (n + 1)x

dowód

(1 + x)ⁿ⁺¹ = (1 + x)ⁿ × (1 + x)¹ ³ (1 + nx)(1 + x) = 1 + x + nx + nx² =

= 1(n + 1)x + nx² ³ 1 + (n + 1)x

(1 + x)ⁿ⁺¹ ³ 1 + (1 + n)x

Na mocy zasady indukcji matematycznej nierówność Bernouliego jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej.

3. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA

Tw.	Niech k oznacza liczbę naturalną lub zero. Symbol k! ( czytamy: k silnia) definiujemy następująco: 0! = 1 1! = 1 k! = 1 × 2 × … × k , gdy k ³ 2

Przykład

a.)

b.)

Def.	Wyrażenie gdzie n , k Î N È{0} i n ³ k nazywamy symbolem Newtona czytamy „n po k” lub „n nad k”.

Symbole Newtona spełniają warunek

1.)

2.)

Wartości symboli Newtona możemy ustawić w następującą tabelę mającą kształt trójkąta, zwaną trójkątem Pascala.

Ponieważ oraz dla każdego n Î N È{0}, więc wszystkie wyrazy skrajne w trójkącie Pascala są równe 1. Ponadto zgodnie z