|
1
|
|
|
2
|
- Iloraz różnicowy funkcji w punkcie
- Pochodna funkcji w punkcie
- Podstawowe twierdzenia o obliczaniu pochodnych
- Druga pochodna funkcji
- Pochodna funkcji złożonej
- Ekstrema funkcji różniczkowalnej
- Najmniejsza i największa wartość funkcji w przedziale
- Monotoniczność funkcji
- Reguła de L’Hôspitala
- Wklęsłość i wypukłość funkcji
- Informacje o autorze
- Elsiu ci opowie o pokazach niestandardowych
|
|
3
|
- Definicja ilorazu różnicowego
- Graficzna ilustracja
- Geometryczna interpretacja ilorazu różnicowego
|
|
4
|
- Niech dana będzie funkcja
- Weźmy punkt x0taki, że zawiera się w
- dziedzinie wraz ze swoim otoczeniem.
- Weźmy dowolny punkt x leżący w sąsiedz-
- twie punktu x0. Różnicę x- x0 nazywamy
- przyrostem argumentu i oznaczamy Dx.
- Odpowiadający jemu przyrost wartości
- f(x) – f(x0) oznaczamy Dy.
-
à
|
|
5
|
|
|
6
|
|
|
7
|
- Oblicz iloraz różnicowy odpowiadający
- przyrostowi argumentów od x0=1 od x=3 dla
- f(x)= - x2 + 2x + 3.
- Obliczamy Dx.
- Dx=3 – 1=2
- Obliczamy f(x).
- f(x)= f(3)= -(3)2 + 2.3 +3= 0
- Obliczamy f(x0).
- f(x0)= - (1)2 +2 +3= 4
- Iloraz różnicowy wynosi:
|
|
8
|
|
|
9
|
- Z przykładów prezentowanych na poprzednim slajdzie wynika, że:
- Iloraz różnicowy jest liczbą.
- Iloraz różnicowy każdej liczbie x (przy ustalonej liczbie x0)
jest przyporządkowany jednoznacznie.
- Interpretacja geometryczna (wykres): przez punkty A (x0,f(x0))
i B (x, f(x)) można poprowadzić prostą y=ax+b, zwaną sieczną krzywej.
Iloraz różnicowy odpowiadający przyrostowi argumentów od x0
do x jest równy tangensowi nachylenia siecznej do osi OX
(współczynnikowi kierunkowemu siecznej).
|
|
10
|
- Dana jest funkcja f(x)= x2 – 4x. Wyznacz równanie
- siecznej wyznaczonej przez punkty x0= 0 i x= 2.
|
|
11
|
- Pierwsza definicja pochodnej funkcji w punkcie
- Druga definicja pochodnej funkcji w punkcie
- Geometryczna interpretacja pochodnej funkcji w punkcie
- Funkcja różniczkowalna w punkcie
- Funkcja różniczkowalna w zbiorze
- Fizyczna interpretacja pochodnej funkcji w punkcie
- Jednostronne pochodne funkcji
- Inne symbole pochodnych
|
|
12
|
- Iloraz różnicowy funkcji w punkcie można traktować
- jako funkcję, która każdemu punktowi x z sąsie-
- dztwa punktu x0
przyporządkowuje odpowiadającą
- mu liczbę. Funkcja ta jest określona w sąsiedztwie
- punktu x0.
-
,
- Funkcja nie jest określona w punkcie x0, ale może
- mieć w tym punkcie granicę.
|
|
13
|
|
|
14
|
|
|
15
|
|
|
16
|
|
|
17
|
|
|
18
|
|
|
19
|
|
|
20
|
|
|
21
|
|
|
22
|
|
|
23
|
|
|
24
|
|
|
25
|
|
|
26
|
|
|
27
|
|
|
28
|
- Podstawowe twierdzenia o obliczaniu pochodnych
- Pochodne niektórych funkcji
- Przykład
|
|
29
|
|
|
30
|
|
|
31
|
|
|
32
|
|
|
33
|
- Definicja drugiej pochodnej
- Fizyczna interpretacja drugiej pochodnej
- Przykład
|
|
34
|
|
|
35
|
|
|
36
|
|
|
37
|
- Złożenie funkcji
- Przykład
- Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej
- Przykład
|
|
38
|
|
|
39
|
|
|
40
|
|
|
41
|
|
|
42
|
|
|
43
|
|
|
44
|
- Definicja maksimum funkcji
- Maksimum lokalne funkcji
- Definicja minimum funkcji
- Minimum lokalne funkcji
- Uwagi o ekstremach funkcji
- Ekstrema funkcji różniczkowalnej
- Przykład
|
|
45
|
|
|
46
|
|
|
47
|
|
|
48
|
|
|
49
|
|
|
50
|
|
|
51
|
|
|
52
|
|
|
53
|
|
|
54
|
|
|
55
|
|
|
56
|
|
|
57
|
- Twierdzenie Langrange’a o wartości średniej
- Twierdzenie Rolle’a
- Twierdzenie Langrange’a
- Wnioski z twierdzeń
- Uwagi o monotoni -czności funkcji
|
|
58
|
|
|
59
|
|
|
60
|
|
|
61
|
|
|
62
|
|
|
63
|
|
|
64
|
- Wklęsłość funkcji
- Wypukłość funkcji
- Punkt przegięcia wykresu funkcji
|
|
65
|
|
|
66
|
|
|
67
|
|
|
68
|
|
|
69
|
- Zastosowanie
- Twierdzenie
- de L’Hôspitala
- Pomocne twierdzenia
- (1) , (2) , (3)
- Elsiowa porada
- Elsiowa podpowiedź
|
|
70
|
|
|
71
|
|
|
72
|
|
|
73
|
|
|
74
|
|
|
75
|
|
|
76
|
|
|
77
|
|
|
78
|
|
|
79
|
|
|
80
|
|
|
81
|
|
|
82
|
|
|
83
|
|
Notatki
