Matura ustna - "stara" matura

I. ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH
1. Podaj określenia: negacji, alternatywy, koniunkcji, implikacji i równoważności zdań oraz wykorzystując metodę zero-jedynkową określ, kiedy są one prawdziwe.
2. Podaj definicję i zapis symboliczny sumy, iloczynu, różnicy, dopełnienia i zawierania się zbiorów.
3. Jakie znasz działania na zbiorach? Podaj ich definicje i zilustruj przykładami.
4. Omów prawa działań dotyczące sumy i iloczynu zbiorów
5. Wyznacz sumę, różnicę, iloczyn i dopełnienia zbiorów A=… i B=…
6. Podaj prawa de' Morgana dla zbiorów A=..... i B=..... .
7. Jaki zbiór nazywamy podzbiorem danego zbioru? Wymień podzbiory zbioru R i ustal
relacje zachodzące między nimi.
8. Omów podzbiory zbioru liczb rzeczywistych oraz działania w nich wykonalne.
9. Co to znaczy, że dane działanie jest wykonalne w zbiorze? Jakie działania są wykonalne np. w zbiorze C ?
10. Podaj znane Ci prawa działań arytmetycznych.
1 1 . Podaj wzory skróconego mnożenia i udowodnij je.
12. Jakie liczby zaliczamy do liczb wymiernych, a jakie do niewymiernych ?
13. Wykaż, że …. jest liczbą niewymierną.
14. Podaj definicję liczby niewymiernej oraz przykłady dwóch liczb niewymiernych, których suma jest liczbą wymierną.
15. Omów działania na liczbach postaci a + b*c^(1/2) .
16. Podaj określenia kresów zbiorów, przykłady zbiorów ograniczonych i nieograniczonych.
17. Podaj definicję przedziałów: otwartego, domkniętego, ograniczonego i nieograniczonego. Przedstaw ich interpretację graficzną.
18. Podaj definicję i własności wartości bezwzględnej. Rozwiąż równanie …. nierówność…..
19. Zapisz, używając wartości bezwzględnej następujące przedziały .....

II. FUNKCJE
Podstawowe pojęcia dotyczące funkcji
1. Podaj definicję funkcji odwzorowującej zbiór X w Y oraz X na Y. Podaj przykład przyporządkowania, które jest funkcją oraz które nie jest funkcją.
2. Podaj definicję funkcji, jej dziedziny i zbioru wartości oraz znane Ci sposoby określania funkcji.
3. Co rozumiesz pod pojęciem dziedziny funkcji. Wyznacz dziedzinę funkcji: f(x)=.....
4. Określ dziedzinę podanych funkcji złożonych .....
5. Podaj definicję funkcji złożonej. Jaki musi być spełniony warunek, aby istniało złożenie funkcji.
6. Dane są funkcje /=..... i g=...... Podaj złożenie funkcji f z g oraz g z f.
7. Podaj definicję funkcji różnowartościowej. Sprawdź, czy funkcja f(x)=..... jest
różnowartościowa.
8. Podaj definicję funkcji parzystej i nieparzystej. Jaką własność geometryczną ma wykres
każdej z tych funkcji? Zbadaj parzystość funkcji f(x)=.....
9. Na podstawie definicji sprawdź, czy funkcja f(x)= ..... jest parzysta (nieparzysta).
10. Podaj definicję funkcji okresowej oraz interpretację geometryczną tej definicji.
11. Podaj definicję funkcji odwrotnej do danej. Jaki musi być spełniony warunek, aby istniała funkcja odwrotna?
a) Skonstruuj wykres funkcji odwrotnej do wykresu danej funkcji.
b) Napisz wzór funkcji odwrotnej do funkcji f(x)= .....
12. Podaj definicję funkcji malejącej. Wykaż z definicji, że dana funkcja jest malejąca.
13. Podaj definicję funkcji rosnącej. Wykaż z definicji, że dana funkcja jest rosnąca.
14. Omów pojęcie monotoniczności funkcji i sposoby jej badania.
Przekształcenia wykresów funkcji
15. Dany jest wykres funkcji y = f (x), gdzie x e R. W jaki sposób sporządzić wykres , funkcji: y = f(x-a) + b lub y = |f(x)| lub y = -f(x) lub y = f(-x)
16. Wykres funkcji y = f(x) przekształć:
a) przez symetrię względem osi OX i zapisz wzór otrzymanej funkcji.
b) przez symetrię względem osi OY i zapisz wzór otrzymanej funkcji.
17. Dany wykres funkcji y - f (x) przesuń o wektor [a,b] i napisz wzór otrzymanej funkcji.
18. Wykres jednej z elementarnych funkcji przesunięto równolegle o wektor [p,q] , napisz wzór funkcji, której wykres otrzymałeś i omów jej własności.
Funkcja liniowa
19. Podaj definicję funkcji liniowej oraz omów jej własności i wykres. Dla jakich wartości parametru ..... prosta przechodząca przez punkty A=(.....), B=(.....) jest nachylona do osi OX pod kątem ....?
20. Zbadaj, dla jakich x e R funkcja liniowa przybiera wartości dodatnie, a dla jakich ujemne.
Równania prostych na płaszczyźnie
21. Postać kierunkowa, ogólna równania prostej. Objaśnij sens geometryczny
współczynników w równaniu prostej podanej w postaci kierunkowej i ogólnej.
22- Wyprowadź wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.
23. Podaj równanie prostej o danym współczynniku kierunkowym przechodzącej przez dany punkt.
24. Napisz równanie prostej równoległej (prostopadłej) do danej prostej przechodzącej przez dany punkt.
25. Podaj warunek równoległości i prostopadłości prostych określonych równaniami:
26. Podaj warunek równoległości prostych i uzasadnij go. Sprawdź, czy proste
o równaniach: ... są równoległe.
27. Podaj warunek prostopadłości prostych i uzasadnij go. Sprawdź, czy proste
o równaniach: ... są prostopadłe.
Równania, nierówności, układy równań i nierówności liniowych
28. Jakie równanie nazywamy równaniem liniowym? Podaj warunki rozwiązalności tego równania.
29. Omów rodzaje układów dwóch równań liniowych i podaj ich interpretację geometryczną.
30. Przeprowadź dyskusję rozwiązalności układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.
31. Omów metody rozwiązywania układów równań liniowych.
32. Kiedy układ jest układem: oznaczonym, nieoznaczonym i sprzecznym?
33- wzory ogólne dotyczące rozwiązania układów równań liniowych metodą
wyznaczników.
34. W układzie współrzędnych zaznacz zbiór punktów spełniających warunki danego układu nierówności liniowych.
35. Przedstaw interpretację geometryczną nierówności l stopnia z 2 niewiadomymi.
Funkcje kwadratowe
36. Omów wykres i własności funkcji y = ax2;.
37. Podaj definicję i omów własności funkcji kwadratowej.
38. Podaj schematyczne wykresy trójmianu kwadratowego y = ax2 +bx + c w zależności od współczynnika a i wyróżnika .
39. Udowodnij wzór na postać kanoniczną trójmianu kwadratowego.
40. Udowodnij wzór na postać iloczynową funkcji kwadratowej.
41. Doprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej daną funkcję kwadratową.
42- Udowodnij wzory na współrzędne wierzchołka paraboli.
43. Omów ekstremum funkcji kwadratowej.
44. Podaj i udowodnij twierdzenie o istnieniu i liczbie pierwiastków trójmianu
kwadratowego. Udowodnij wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego.
45. Podaj twierdzenia o sumie i iloczynie pierwiastków trójmianu kwadratowego i uzasadnij je. Podaj ich przykładowe zastosowania.
46. Omów sposoby rozwiązywania równań kwadratowych zupełnych i niezupełnych. Rozwiąż równanie .....
47. Podaj warunek na to, aby trójmian y = ax2 +bx + c miał stały znak. Odpowiedź uzasadnij.
48. Jakich znaków są współczynniki równania x2 +bx + c = O , które ma np:
a) dwa pierwiastki różnych znaków ?
b) dwa pierwiastki ujemne ?
Wielomiany
49. Omów znane Ci krzywe stopnia drugiego.
50. Podaj definicję wielomianu jednej zmiennej, wielu zmiennych, pierwiastka wielomianu i pierwiastka n-krotnego (wyjaśnij to zagadnienie graficznie).
51. Omów działania na wielomianach.
52. Podaj twierdzenie o równości dwóch wielomianów.
53. Wyznacz współczynniki wielomianu, znając jego pierwiastki.
54. Podaj twierdzenie o liczbie pierwiastków wielomianu jednej zmiennej.
55. Sformułuj i udowodnij twierdzenie Bezouta (o podzielności wielomianu W(x) przez
dwumian (x - p)). Omów jego zastosowania.
56. Podaj i udowodnij twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez
dwumian x -p.
57. Sformułuj i udowodnij twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu
o współczynnikach całkowitych.
58. Sformułuj i udowodnij twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu
o współczynnikach całkowitych.
59. Omów sposoby rozkładu wielomianów na czynniki.
Funkcje wymierne
60. Podaj definicją funkcji wymiernej. Określ dziedzinę następujących funkcji wymiernych ...
61. Co nazywamy równaniem wymiernym ? Rozwiąż równanie: ...
62. Co nazywamy nierównością wymierną? Rozwiąż nierówność: ...
63. Podaj określenie funkcji homograficznej, naszkicuj wykres i omów jej własności.
Funkcje trygonometryczne
64. Co to jest miara łukowa kąta? Jaka jest zależność między miarą stopniową i łukową?
65. Podaj definicje funkcji trygonometrycznych kąta dowolnego i na ich podstawie sporządź siatkę znaków tych funkcji w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych.
66. Podaj definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego.
67. Co nazywamy sinusem dowolnego kąta? Oblicz z definicji np. sin 270°.
68. Co nazywamy cosinusem dowolnego kąta? Oblicz z definicji np. cos 180°.
69. Co nazywamy tangensem dowolnego kąta? Wykaż z definicji, że nie istnieje
70. Co nazywamy cotangensem dowolnego kąta? Oblicz z definicji np. ctg 90°.
71. Na podstawie definicji funkcji trygonometrycznych udowodnij podstawowe związki
między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta.
72. Podaj wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych ćwiartki ..... Na podstawie
definicji funkcji trygonometrycznych udowodnij jeden z nich.
73. Stosując wzory redukcyjne, oblicz wartość wyrażenia .....
74. Podaj i udowodnij jeden ze wzorów na funkcję trygonometryczną sumy lub różnicy
kątów.
75. Udowodnij dowolny wzór na zamianę sum i różnic funkcji trygonometrycznych
na iloczyn.
76. Podaj i udowodniń wzory na funkcje trygonometryczne np:
a) sumy i różnicy argumentu,
b) argumentu podwojonego,
c) połowy argumentu.
78. Podaj definicje funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej. Naszkicuj wykres jednej z nich i omów jej własności.
79. Jaką równość nazywamy tożsamością? Sprawdź tożsamość trygonometryczną: .....
80. W której ćwiartce leży końcowe ramię kąta, jeżeli ….Zbuduj kąt a , wiedząc, że np. sina = 0,7.
81. Rozwiąż graficznie równanie trygonometryczne ….
82. Rozwiąż graficznie równanie trygonometryczne …
85. Podaj sposoby rozwiązywania równania a sin x + b cos x = c, gdzie a, 6, c e R.
86. Podaj definicje funkcji cyklometrycznych.
Funkcje potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne
87. Podaj definicję potęgi o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym i rzeczywistym oraz twierdzenia dotyczące działań na potęgach.
88. Podaj twierdzenia o działaniach na potęgach i udowodnij jedno z nich.
89. Podaj definicję funkcji potęgowej f(x) = x" i omów jej własności.
90. Podaj definicję funkcji wykładniczej x —> ax i omów jej własności.
91. Naszkicuj wykres i omów własności funkcji y — ex.
92. Podaj definicję funkcji logarytmicznej v = logn x i omów jej własności.
93. Podaj definicję logarytmu oraz twierdzenia o logarytmowaniu wyrażeń algebraicznych
94. Podaj definicję logarytmu oraz prawa działań na logarytmach i jedno z nich
95. wzory na logarytm z iloczynu, z ilorazu i z potęgi.
96. Naszkicuj wykres i omów własności funkcji y = lnx.
97- wzór na zamianę podstaw logarytmu.
Ciągi
98. Podaj zasadę indukcji matematycznej. Wykaż, że .....
99. Co nazywamy ciągiem liczbowym? Podaj sposoby określania ciągu.
100. Jaki ciąg nazywamy rosnącym? Wykaż, że dany ciąg jest rosnący.
101 .Jaki ciąg nazywamy malejącym? Wykaż, że dany ciąg jest malejący. 102.Omów monotoniczność i ograniczoność ciągu liczbowego.
103.Podaj określenie ciągu monotonicznego - zilustruj przykładami.
104.Podaj twierdzenia łączące pojęcia monotoniczności, zbieżności i ograniczoności ciągu.
105.Podaj definicję granicy ciągu liczbowego i ilustrację graficzną tego faktu.
106.Podaj definicję granicy ciągu liczbowego i twierdzenia dotyczące ciągów zbieżnych.
107. Wykaż z definicji, że liczba ..... jest granicą ciągu ......
108.Oblicz granicę ciągu ...... Z jakich twierdzeń korzystałeś?
109.Omów własności działań na granicach ciągów i udowodnij jedną z nich, korzystając
z definicji granicy ciągu liczbowego.
11O.Podaj definicje liczby e.
111.Sformułuj twierdzenie o trzech ciągach.
112. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Który z podanych ciągów jest ciągiem
arytmetycznym: .....
113. Podaj wzór określający ogólny wyraz ciągu arytmetycznego. Wyznacz ciąg, jeżeli: ...
114. Podaj i udowodnij wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
115. Podaj i udowodnij wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego,
a) Oblicz sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, jeżeli: .....
b) Ile wyrazów ciągu ..... daje w sumie .....
116. Podaj określenie ciągu geometrycznego. Który z podanych ciągów jest geometryczny.....
117. Podaj (i udowodnij) wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego. Wyznacz ciąg
geometryczny, jeżeli .....
118. Podaj (i udowodnij) wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Ile
wyrazów ciągu ..... daje w sumie .....
119. Podaj warunek zbieżności nieskończonego ciągu geometrycznego. Udowodnij wzór na sumę takiego ciągu.
I
III. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY
Granica i pochodna funkcji
1. Podaj definicję (Heinego i Cauchy'ego) granicy funkcji w punkcie. Oblicz z definicji'
2. Podaj twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji.
3. Podaj warunki ciągłości funkcji w punkcie, w przedziale, w zbiorze.
4. Omów definicję i własności funkcji ciągłych.
5. Wyjaśnij pojęcie ilorazu różnicowego funkcji. Omów jego zastosowania.
6. Podaj definicję pochodnej funkcji w punkcie i jej interpretację geometryczną (fizyczną).
7. Podaj definicję stycznej do wykresu funkcji / różniczkowalnej w punkcie…Napisz równanie stycznej do .....
8. Oblicz z definicji pochodną funkcji y=f(x) w punkcie o odciętej .....
9. Korzystając z definicji, Wyznacz wzór na pochodną funkcji np.:
10. Podaj i udowodnij twierdzenia o, np.:
a) pochodnej funkcji potęgowej,
b) pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu dwóch funkcji różniczko walnych,
c) pochodnej funkcji złożonej i odwrotnej,
d) pochodnych funkcji trygonometrycznych.
1 1 . Oblicz pochodną funkcji flx)=..... Podaj twierdzenia, z jakich korzystałeś.
12. Podaj wzory na pochodne funkcji elementarnych.
13. Podaj definicje i omów zastosowanie drugiej pochodnej.
14. Omów zastosowanie pierwszej i drugiej pochodnej w fizyce.
16. Podaj warunek monotoniczności funkcji różniczkowalnej. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f(x)—.....
17. Podaj warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum lokalnego funkcji różniczkowalnej.
18. Jak określamy wartość najmniejszą i największą funkcji w przedziale domkniętym.
19. Podaj definicję asymptot wykresu funkcji i wymień ich rodzaje.
20. Podaj schemat badania przebiegu zmienności funkcji.
21. Podaj twierdzenie Rolle'a i jego interpretację geometryczną.
Całka
22. Podaj definicję funkcji pierwotnej.
23. Podaj definicję całki nieoznaczonej.
24. Podaj interpretację geometryczną całki oznaczonej.
25. Podaj znane Ci metody obliczania całek.

IV. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1. Podaj definicję permutacji z powtórzeniami (bez powtórzeń).
2. Wskaż na przykładach różnice między kombinacjami i wariacjami bez powtórzeń.
3. Podaj definicję kombinacji z powtórzeniami (bez powtórzeń).
4. Podaj definicję wariacji z powtórzeniami (bez powtórzeń).
5. Określ zbiór zdarzeń elementarnych doświadczenia polegającego na .....
6. Wypisz zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniom: A u B, A n B, A '. A-B jeżeli ...
7. Podaj klasyczną definicję prawdopodobieństwa oraz jego własności. Udowodnij jedną z nich.
8. Podaj aksjomatyczną definicję prawdopodobieństwa
10. Podaj definicję zdarzeń niezależnych. Sprawdź czy ...
l1 . Wykaż, że jeżeli A i B są zdarzeniami niezależnymi, to zdarzenia:
a) do nich przeciwne A ' i B' są też niezależne,
b) A i B' są też niezależne.
12. że jeżeli A u B' = £1 i zdarzenia A i B są niezależne, to albo zdarzenie A albo B
jest zdarzeniem pewnym.
14. Udowodnij twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym.
15. Podaj definicję i wzór na prawdopodobieństwo warunkowe. Oblicz P(A l B), jeżeli .....
16. Co nazywamy próbą Bernoulliego. Podaj wzór na k sukcesów w n próbach Bernoulliego.
17. Podaj definicję rozkładu zmiennej losowej.
18. Podaj definicje wartości oczekiwanej, wariancji i odchylenia standardowego. Omów interpretacje tych wielkości.

V. GEOMETRIA
Figury geometryczne, przekształcenia geometryczne
1. Co nazywamy figurą geometryczną
2. Jaką figurę nazywamy wypukłą?
3. Podaj definicję kąta na płaszczyźnie oraz omów rodzaje kątów.
4. Podaj definicję wielokąta i omów klasyfikację np.: trójkątów i czworokątów.
5. Udowodnij wzór na sumę miar kątów n-kąta.
6. Udowodnij wzór na liczbę przekątnych n-kąta.
7. Podaj definicję wysokości, środkowej i dwusiecznej w trójkącie.
8. Podaj definicję okręgu, koła, sfery, kuli.
9. Sformułuj i udowodnij twierdzenie o sumie kątów wewnętrznych trójkąta.
10. Sformułuj i udowodnij twierdzenie o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta.
11. Udowodnij twierdzenie odcinku łączącym środki boków nierównoległych trapezu
20. Podaj wzór na odległość dwóch punktów, odległość punktu od prostej, długość odcinka
21. Uzasadnij wzory: na odległość dwóch punktów oraz na współrzędne środka odcinka.
22. Podaj definicję kąta wpisanego i środkowego oraz ich własności.
23. Omów własności wielokątów wpisanych w okrąg oraz opisanych na okręgu.
24. Omów konstrukcję okręgu wpisanego (opisanego) na trójkącie.
25. W dany czworokąt wpisz okrąg (na danym czworokącie opisz okrąg). Podaj warunki rozwiązalności zadania.
26. Omów wzajemne położenie prostej i okręgu na płaszczyźnie.
27. Wykaż, że trapez wpisany w okrąg jest równoramienny.
28. We wnętrzu trójkąta równobocznego wybrano dowolny punkt. Wykaż, że suma
odległości tego punktu od boków trójkąta jest równa wysokości tego trójkąta.
29. Wykaż, że w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c, zachodzi…
30. Co to jest środek ciężkości trójkąta?
31. Sformułuj twierdzenie o punkcie przecięcia się środkowych trójkąta.
32. Omów wzajemne położenie dwóch okręgów na płaszczyźnie.
33. Omów wzajemne położenie prostej i krzywej drugiego stopnia.
34. Jakie przekształcenia nazywamy izometrycznymi? Wymień znane Ci izometrie i omów własności jednej z nich.
35. Podaj określenie translacji
36. Podaj określenie symetrii środkowej
37. Podaj określenie symetrii osiowej
38. Podaj definicję i wzory na przesunięcie równoległe.
39. Podaj przykłady przekształceń nieizometrycznych.
41. Co nazywamy środkiem symetrii figury? Podaj przykłady figur mających środek symetrii.
42. Co nazywamy osią symetrii figury? Podaj przykłady figur mających oś symetrii.
43. Podaj definicję figury osiowosymetryczncj i środkowosymetrycznej. Podaj przykłady.
44- Wyprowadź wzór na równanie okręgu.
45. Czy równanie .....jest równaniem okręgu ? Odpowiedź uzasadnij.
46. Podaj cechy przystawania trójkątów.
47. Sformułuj twierdzenie Talesa. Dane są odcinki a, b, c. Skonstruuj odcinek x taki, że x=...
48. Podaj definicję i własności jednokładności na płaszczyźnie.
49. Podaj definicję i własności podobieństwa. Co jest obrazem ..... w podobieństwie .....
50. Kiedy np:
a) prostokąty,
b) romby,
c) równolcgłoboki,
są podobne? Odpowiedź uzasadnij.
51. W trójkącie ABC poprowadzono wysokości AA' i CC'. Wykaż, że trójkąty ABA' i BCC' są podobne.
52. Podaj definicję wektora.
53. Dane są wektory a, Znajdź długość wektora…
54. Podaj wzór na długość wektora.
55. Omów wzajemne położenie wektorów.
56. Podaj warunek równoległości i prostopadłości wektorów. Czy wektory a=... i b=... są równoległe (prostopadłe).
57. Podaj definicję i własności iloczynu skalarnego wektorów i jedną z nich j
Własności miarowe figur
58. Podaj znane wzory na obliczanie pola trójkąta i jeden z nich |
59. Podaj wzory na pola podstawowych czworokątów.
60. Sformułuj i udowodnij twierdzenie sinusów. Podaj jego zastosowanie.
61. Sformułuj i udowodnij twierdzenie cosinusów. Podaj jego zastosowanie.
62. Podaj związek między polami figur podobnych w skali k.
63- wzór na długość promienia okręgu opisanego (wpisanego w trójkąt) na
dowolnym trójkącie, mając dane .....
Figury geometryczne w przestrzeni
64. Omów wzajemne położenie dwóch prostych w przestrzeni.
65. Podaj definicję kąta między prostą i płaszczyzną. Wskaż na modelu .....
66. Podaj definicję kąta dwuściennego. Wyznacz miarę np. kąta między ścianami czworościanu foremnego.
67. Omów wzajemne położenie prostej i płaszczyzny w przestrzeni.
68. Omów wzajemne położenie płaszczyzn w przestrzeni.
69. Zdefiniuj rzut równoległy i prostokątny na płaszczyznę.
70. Omów wzajemne położenie dwóch sfer w przestrzeni.
71. Podaj określenie graniastosłupa i omów klasyfikację graniastosłupów.
72. Podaj określenie ostrosłupa i omów klasyfikację ostrosłupów.
73. Podaj definicję:
a) walca,
b) stożka,
c) kuli.
74. Omów przekroje płaskie:
a) walca,
b) stożka,
c) kuli,
płaszczyznami równoległymi (prostopadłymi) do osi symetrii.
75. Wyprowadź wzór na przekątną sześcianu.
76. Narysuj (wskaż) graniastosłup prawidłowy i taki, który nie jest prawidłowy. Wskaż różnice.
77. Opisz bryłę powstałą w wyniku obrotu np.:
a) rombu dookoła jednej z jego przekątnych,
b) trójkąta prostokątnego dookoła przeciwprostokątnej,
c) trójkąta ABC dookoła prostej przechodzącej przez punkt C i równoległej do prostej AB.
78. Sformułuj udowodnij twierdzenie o trzech prostych prostopadłych.
79. Wyprowadź wzór na długość wysokości czworościanu foremnego o krawędzi długości a.
Pola powierzchni i objętość brył
80. Znajdź stosunek objętości sześcianu do objętości kuli
a) wpisanej w ten sześcian,
b) opisanej na tym sześcianie.
81. Oblicz objętość narożnika odciętego płaszczyzną przechodzącą przez przekątne trzech sąsiednich ścian sześcianu o krawędzi długości a.
82. Czworościan foremny przecięto płaszczyzną zawierającą jego wysokość i jedną krawędź. Znajdź stosunek pola otrzymanego przekroju do pola jednej ze ścian czworościanu.
83. Oblicz objętość czworościanu foremnego o krawędzi długości a.
84. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej sześcianu o przekątnej długości d.
85. Przekrój osiowy walca wpisanego w kulę o promieniu R jest kwadratem. Oblicz objętość lego walca.