Zdarzeń sprzyjających, zaznaczonych kolorem zielonym,
jest 24. Zatem prawdopodobieństwo wygrania kostki B z
kostką A wynosi 
0,666 666. Liczba ta jest zgodna z
częstością pokazywaną przez program.
Gra w kostki Efrona
W grze biorą udział dwie osoby, w tym przypadku jedną osobą jesteś Ty, a drugą komputer. Wygrywa ten, kto wyrzuci kostką Efrona większą liczbę. Każdy może wybrać jedną z kostek A, B, C, D. Oczywiście, ktoś musi to zrobić pierwszy. Popatrz uważnie, jakie liczby znajdują się na poszczególnych ściankach kostek i zdecyduj, którą wybrać, żeby wygrywać z komputerem. Naciśnij "Nowa gra" i "Gracz", a następnie zaznacz odpowiednią kostkę (litera oznaczająca wybraną kostkę przyjmie kolor zielony). Komputer wybierze dla siebie również jedną kostkę, która zostanie zaznaczona kolorem niebieskim. Teraz możesz już grać, naciskając "Losuj" lub "Automatycznie". Rzuty wykonuje program i przyznaje punkt odpowiednio Tobie lub komputerowi, w zależności od tego, na której kostce została wylosowana większa liczba. Naciskając "Losuj", uruchamiasz jedno losowanie, naciskając "Automatycznie", wykonujesz milion losowań.
Zagraj kilka razy różnymi kostkami.
Jeśli nie udaje Ci się wygrać, zastosuj niezawodną strategię - naśladuj zwycięzcę!
Gra jest bardzo dziwna. Jeśli wybierzesz kostkę A, to komputer wybierze kostkę B i, jeśli zagra wiele razy, zdobędzie więcej punktów niż Ty. Jeśli wybierzesz kostkę B, to komputer wybierze kostkę C i też wygra. Jeśli wybierzesz kostkę C, to komputer wybierze kostkę D i znów wygra. Wydaje się więc, że kostka D jest najsilniejsza, a kostka A najsłabsza, ponieważ kostka D wygrywa z kostką C, ta wygrywa z kostką B, a ta wygrywa z kostką A. Ale jeśli w następnej grze wybierzesz, wydawałoby się najsilniejszą, kostkę D, to komputer wybierze kostkę A i mimo że kostka A wydaje się najsłabsza, komputer znów wygra! Tak jest rzeczywiście, program nie oszukuje! Kostki mają tę własność, że żadna nie jest najsilniejsza. Wybierając jakąkolwiek kostkę, komputer zawsze może wybrać tę, którą będzie wygrywać. Sprawdź to, naśladując komputer! Naciśnij "Nowa gra", pozwól komputerowi pierwszemu wybrać kostkę, wybierz kostkę następną po wybranej przez komputer i zagraj wiele razy.
Teoretyczne uzasadnienie gry można uzyskać, obliczając odpowiednie prawdopodobieństwa.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rzucie kostkami A i B wygra kostka B?
Wszystkich możliwości jest 36:
5,2 5,2 5,2 5,2 5,6 5,6
1,2 1,2 1,2 1,2 1,6 1,6
1,2 1,2 1,2 1,2 1,6 1,6
1,2 1,2 1,2 1,2 1,6 1,6
5,2 5,2 5,2 5,2 5,6 5,6
5,2 5,2 5,2 5,2 5,6 5,6
Zdarzeń sprzyjających, zaznaczonych kolorem zielonym, jest 24. Zatem prawdopodobieństwo wygrania kostki B z kostką A wynosi
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rzucie kostkami B i C wygra kostka C?
Wszystkich możliwości jest 36:
2,3 2,3 2,3 2,3 2,3 2,3
2,3 2,3 2,3 2,3 2,3 2,3
2,3 2,3 2,3 2,3 2,3 2,3
2,3 2,3 2,3 2,3 2,3 2,3
6,3 6,3 6,3 6,3 6,3 6,3
6,3 6,3 6,3 6,3 6,3 6,3
Zdarzeń sprzyjających, zaznaczonych kolorem zielonym, jest 24. Zatem prawdopodobieństwo wygrania kostki C z kostką B wynosi
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rzucie kostkami C i D wygra kostka D?
Wszystkich możliwości jest 36:
3,0 3,4 3,0 3,4 3,4 3,4
3,0 3,4 3,0 3,4 3,4 3,4
3,0 3,4 3,0 3,4 3,4 3,4
3,0 3,4 3,0 3,4 3,4 3,4
3,0 3,4 3,0 3,4 3,4 3,4
3,0 3,4 3,0 3,4 3,4 3,4
Zdarzeń sprzyjających, zaznaczonych kolorem zielonym jest 24. Zatem prawdopodobieństwo wygrania kostki D z kostką C wynosi
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rzucie kostkami D i A wygra kostka A?
Wszystkich możliwości jest 36:
0,5 0,1 0,1 0,1 0,5 0,5
4,5 4,1 4,1 4,1 4,5 4,5
0,5 0,1 0,1 0,1 0,5 0,5
4,5 4,1 4,1 4,1 4,5 4,5
4,5 4,1 4,1 4,1 4,5 4,5
4,5 4,1 4,1 4,1 4,5 4,5
Zdarzeń sprzyjających, zaznaczonych kolorem zielonym jest 24. Zatem prawdopodobieństwo wygrania kostki A z kostką D wynosi
Powyższe obliczenia wykazują, że gracz, który wybiera
kostkę drugi, wygra z prawdopodobieństwem (oczywiście, jeśli wie, że należy wybrać kostkę
następną po kostce wybranej przez pierwszego gracza, inaczej
może przegrać).
Zbadajmy problem "siły kostek". Czy naprawdę żadna z kostek nie jest najsilniejsza? Gdy grają dwie osoby, nie ma najsilniejszej kostki, ponieważ dla każdej kostki potrafimy wybrać kostkę silniejszą. Możemy więc zagrać wszystkimi kostkami naraz i wtedy okaże się, która kostka jest "najsilniejsza". Naciśnij "Sprawdź siłę kostek".
Okazuje się, że na milion rzutów kostka C zdobyła najmniejszą liczbę punktów, częstość wynosi około
, czyli wygrywa średnio co dziewiąty rzut. Kostka D wygrywa dwa razy częściej niż kostka C, zaś kostki A i B trzy razy częściej niż kostka C. Z tego porównania wynika, że kostka C jest najsłabsza, a kostki A i B najsilniejsze.
Jaki wniosek wynika z tej dziwnej gry?
Pojęcie "najsilniejsza kostka" dla kostek Efrona nie jest jednoznaczne, gdy gra się dwiema kostkami. Siła danej kostki inaczej uzewnętrznia się w parach z innymi kostkami, a inaczej, gdy gramy wszystkimi kostkami.
Oto przykład "z życia", w którym może zajść sytuacja podobna jak dla kostek Efrona. Zawodnik B zazwyczaj wygrywa z zawodnikiem A, zaś zawodnik C zazwyczaj wygrywa z zawodnikiem B. Czy to znaczy, że zawodnik C jest najlepszy z tej trójki i będzie równie często wygrywał z A?
Niekoniecznie. Może się okazać, że umiejętności i strategia, a może też psychologiczne aspekty lub jakieś inne względy spowodują, że zawodnik C nie będzie tak skuteczny w grze z A, jak był w grze z B. Dopiero gdy wszyscy trzej zagrają razem, można powiedzieć, który jest najlepszy.