Newton-Pascal-Sierpinski

Symbol Newtona - trójkąt Pascala - trójkąt Sierpińskiego - ciąg Fibonacciego

Na lekcji dowiesz się, w jaki sposób symbole Newtona ułożone są w trójkąt Pascala i co wspólnego ma z nimi trójkąt Sierpińskiego i ciąg Fibonacciego.

Izaak Newton (1642 - 1727)

Angielski matematyk i fizyk, jeden z największych uczonych wszech czasów. Wsławił się wieloma fundamentalnymi odkryciami z matematyki i fizyki, np. odkrył prawo powszechnego ciążenia, podał prawa rachunku różniczkowego i całkowego. Zajmował się również kombinatoryką.

Symbol , oznaczający liczbę kombinacji k-elementowych ze zbioru n-elementowego, nazywa się symbolem Newtona. Jego wartość liczbową oblicza się ze wzoru: = (w lekcji "Kombinatoryka" znajduje się dokładne wyjaśnienie tego wzoru i wiele przykładów jego zastosowania).

Wpisz do programu wartość n = 7, zaznacz okienko "Pokaż symbole Newtona" i naciśnij "Rysuj".

Otrzymałeś wszystkie symbole Newtona od do . Wartości liczbowe symboli ułożone są w kształt trójkąta Pascala.

Blaise Pascal (1623 - 1662)

Matematyk i fizyk francuski. Zajmował się logiką, arytmetyką, geometrią. Skonstruował pierwszą mechaniczną maszynę licząca, będącą pierwowzorem dzisiejszych komputerów. Jeden z języków programowania - Pascal - nazwano właśnie na jego cześć.

Współczynniki Newtona tworzą trójkąt Pascala.
Obejrzyj ten trójkąt dla wartości n od 1 do 30. Dla n > 15 wartości liczbowe są dość duże i nie mieszczą się na "cegiełkach". Możesz jednak każdą wartość wyznaczyć oddzielnie, wpisując do okienek odpowiednie liczby i naciskając "Oblicz". Na przykład = 12 870.

Z trójkąta Pascala łatwo odczytać własności współczynników Newtona.

1. , np. = 495 = . Sprawdź to!
2. , np. += 120 + 210 = 330 = . Sprawdź to!
3. , np. = 1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128 = 2⁷. Sprawdź to!

Wniosek 1
Suma współczynników w każdym wierszu jest odpowiednią potęgą liczby 2.

Wniosek 2
Ponieważ każdy współczynnik oznacza liczbę podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego, więc liczba wszystkich podzbiorów zbioru n-elementowego wynosi 2ⁿ.

Oto prosty program komputerowy, napisany w języku Pascal, rysujący trójkąt Pascala. Algorytm tego programu wykorzystuje własność 2.
program trojkat_Pascala;
uses graph;
var n,k,x,y:integer;
    ilS:string;
    t:array[1..17] of longInt;
begin
  n:=detect; initGraph(n,k,'');
  y:=1;
  for n:=1 to 17 do
    for k:=1 to n-1 do
      begin
        x:=y; y:=t[k];
        t[k]:=x+y; str(t[k],ilS);
        outTextXY(300-18*n+k*36,18*n,ilS);
      end;
  readLn; closeGraph;
end.
Po uruchomieniu tego programu otrzymujemy trójkąt Pascala w postaci:

Zadanie 1

Dany jest trójkąt Pascala dla n = 30.
a) Ile jest współczynników w poszczególnych wierszach trójkąta?
b) Ile jest wszystkich współczynników w trójkącie?
c) Który współczynnik ma największą wartość i jaka to wartość?
d) Ile wynosi suma wszystkich współczynników?

Zadanie 2

W trójkącie Pascala liczba 10 występuje 4 razy. Jaka liczba różna od 1 występuje co najmniej 6 razy?

Wacław Sierpiński (1882 - 1969)

Jeden z najwybitniejszych polskich matematyków. Zajmował się teorią mnogości, teorią liczb, teorią funkcji rzeczywistych i topologią. Podał m. in. zasadę budowy krzywych - zwanych obecnie na jego cześć dywanem Sierpińskiego i trójkątem Sierpińskiego. Są to przykłady tak zwanych fraktali.

Trójkąt Sierpińskiego powstaje w następujący sposób:

Oto bardzo prosty program komputerowy, napisany w języku Pascal, rysujący trójkąt Sierpińskiego:
Program Trojkat_Sierpinskiego;
uses graph;
var n,k:integer;
begin
  n:=detect; initGraph(n,k,'');
  for n:=0 to 255 do
  for k:=0 to 255-n do
      if (n and k)=0 then putPixel(320+n-k,n+k,white);
  readLn; closeGraph;
end.
Trójkąt Sierpińskiego otrzymany za pomocą powyższego programu
Można zauważyć związek pomiędzy trójkątem Sierpińskiego a trójkątem Pascala: parzyste współczynniki Newtona tworzą trójkąt Sierpińskiego. Zobacz to, wpisując do programu n = 15 i zaznaczając "Pokaż liczby podzielne przez 2". Sprawdź, czy wszystkie liczby na niebieskich cegiełkach są parzyste.

Wyświetl większy trójkąt Sierpińskiego dla n = 30 i zobacz, czy współczynniki Newtona podzielne przez 3, 4, 5, 6, 7, itd. również tworzą jakieś ciekawe figury?

Otrzymałeś trójkąty, ale nie trójkąty Sierpińskiego. Ciekawe układy trójkątów otrzymujemy dla liczb podzielnych przez 11, 16, 17. Sprawdź to!

Zadanie 3

a) Który ze współczynników jest podzielny przez 5?
b) Który ze współczynników jest podzielny przez 6?
c) Dla jakiego n wszystkie współczynniki są podzielne przez n?

Zadanie 4

W trójkącie Pascala dla n = 30 najmniej jest współczynników podzielnych przez p. Podaj p.

Zadanie 5

Które współczynniki w trójkącie Pascala są liczbami trójkątnymi? Liczby trójkątne to takie, które dają się ułożyć w trójkąt, np. liczba 10 jest liczbą trójkątną:

Leonardo Fibonacci (1170 - 1250)

Fibonacci to autor sławnej "Księgi Rachunków". Ciąg 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ..., zwany obecnie ciągiem Fibonacciego, jest jednym z najciekawszych ciągów znanych w matematyce.

Każdy wyraz ciągu Fibonacciego (oprócz dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich wyrazów; iloraz dwóch sąsiednich wyrazów dąży do złotej liczby. Ciąg Fibonacciego występuje również w trójkącie Pascala.

Sumy współczynników Newtona, leżących na prostych nierównoległych
do boków trójkąta, tworzą ciąg Fibonacciego.

Zadanie 6

Jak są rozmieszczone w trójkącie Pascala współczynniki, będące wyrazami ciągu Fibonacciego?

Odpowiedzi

1. a) 1, 2, 3, 4, ...; b) 496; c) 155 117 520; d) 2³¹-1 = 2 147 482 647.

2. 3003.

3. a) Wszystkie; b) tylko pierwszy i ostatni; c) dla n będącego liczbą pierwszą.

4. p = 16. Jest tylko 27 takich współczynników.

5.

6.