Monotoniczność funkcji

Na lekcji zapoznasz się ze sposobem badania monotoniczności funkcji.

Uwaga: Program wyznacza przedziały monotoniczności tylko dla fragmentów funkcji mieszczących się w przedziałach ustalonych w okienkach " < x <", " < y <". Aby zbadać monotoniczność w innych przedziałach, należy zmienić zakres zmiennych x i y.

Wpisz do okienka oznaczonego symbolem "y=" wzór x^2-x-2  i naciśnij "Czyść", a następnie "Monoton.".

Otrzymałeś wykres funkcji kwadratowej oraz przedziały monotoniczności. Dla -3 < x < 0,5 funkcja jest malejąca, zaś dla 0,5 < x < 4 jest rosnąca. Dalszych fragmentów wykresu nie widać na ekranie, ale łatwo się domyśleć, że na przedziale  (-nieskonczonosc.gif (860 bytes), 0,5) funkcja maleje, zaś na przedziale (0,5, nieskonczonosc.gif (860 bytes)) rośnie.  

Wpisz funkcję y = xdo4-d-4-4xdo3-d-3.gif (336 bytes) {x^4/4-4*x^3/3-x^2/2+4*x+4} i wyznacz jej przedziały monotoniczności.

Otrzymałeś wykres i odpowiednie przedziały monotoniczności.

W jaki sposób można wyznaczać przedziały monotoniczności?

Wykorzystuje się w tym celu pochodną funkcji.
Jeśli funkcja we wszystkich punktach jakiegoś przedziału jest dodatnia, to jest na tym przedziale rosnąca.
Jeśli funkcja we wszystkich punktach jakiegoś przedziału jest ujemna, to jest na tym przedziale malejąca.
Dla funkcji y = xdo4-d-4-4xdo3-d-3.gif (336 bytes) otrzymujemy:
y ' = x3 - 4x2 - x + 4 = x2(x - 4) - (x - 4) = (x - 4)(x2 - 1) = (x - 4)(x - 1)(x + 1).
Rozwiązując nierówność y ' > 0, czyli  (x - 4)(x - 1)(x + 1) > 0, otrzymujemy przedziały, w których funkcja rośnie: (-1, 1), (4, nieskonczonosc.gif (860 bytes)).
W pozostałych przedziałach: (-nieskonczonosc.gif (860 bytes), -1), (1, 4) funkcja maleje.

Zadanie 1

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji:
a) y = 1-x.gif (83 bytes)  {1/x};
b) y = pionowa kreska.gif (67 bytes)x - 1pionowa kreska.gif (67 bytes)- pionowa kreska.gif (67 bytes)x + 2pionowa kreska.gif (67 bytes){abs(x-1)-abs(x+2)};
c) y =  x - [x]  {x- int(x)}.

Zadanie 2

Dla jakich wartości parametru a funkcja y =  1-12x-do-3.gif (282 bytes) {1/12*x^3+a/2*x^2+x+1} jest monotoniczna?

Zadanie 3

Funkcje f(x) = x - 1 i g(x) = 2x są rosnące. Która z poniższych funkcji jest rosnąca?

a) y = f(x) + g(x); b) y = f(x) – g(x); c) y = g(x) –  f(x); d) y = f(x) . g(x); e) y = f-g.gif (178 bytes); f) y = g-f.gif (175 bytes).

Odpowiedzi

1.
a) Malejąca na przedziałach: (-nieskonczonosc.gif (860 bytes), 0), (0, nieskonczonosc.gif (860 bytes));
b) malejąca na przedziale (-2, 1);
c) rosnąca na przedziałach (k, k + 1), gdzie k nalezy.gif (842 bytes) C.

2. a nalezy.gif (842 bytes) [-1, 1]

3. Tylko funkcja  y = f(x) + g(x) jest rosnąca.