Ekstrema funkcji

Na lekcji zapoznasz się z pojęciem ekstremum (minimum i maksimum) funkcji oraz wykorzystasz program "Ekstrema funkcji" do rozwiązywania różnych zadań dotyczących ekstremów.

Uwaga: Program wyznacza ekstrema funkcji tylko dla takiego fragmentu wykresu funkcji, który jest widoczny na ekranie. Końce przedziałów można zmieniać, wpisując odpowiednie wartości do okienek oznaczonych symbolami: " < x < "  i   "< y <".

Wpisz lub przekopiuj do okienka oznaczonego symbolem "y =" wyrażenie: x^4/4-4*x^3/3-x^2/2+4*x+4 (wyrażenie to oznacza funkcję y = xdo4-d-4-4xdo3-d-3.gif (336 bytes)), a następnie naciśnij "Czyść" i "Ekstrema".

Otrzymałeś wykres funkcji z zaznaczonymi ekstremami oraz wartości liczbowe tych ekstremów.
Dla x = -1 funkcja ma minimum równe 13-12.gif (109 bytes)w-przyblizeniu.gif (844 bytes)1,0833. Oznacza to, że w małym otoczeniu punktu x = -1 wartość ta jest najmniejsza. Zauważ, że po lewej stronie tego punktu funkcja maleje, zaś po prawej rośnie. 
Dla x = 1 funkcja ma maksimum równe 77-12.gif (112 bytes)w-przyblizeniu.gif (844 bytes)6,4167. W tym przypadku jest to największa wartość w otoczeniu punktu x = 1. Po lewej stronie tego punktu funkcja rośnie, po prawej maleje. 
Dla x = 4 funkcja ma drugie minimum o wartości 28-3.gif (109 bytes)w-przyblizeniu.gif (844 bytes)-9.3333. Po lewej stronie tego punktu funkcja maleje, po prawej rośnie. 
Ponieważ funkcja nigdzie nie przyjmuje wartości mniejszych niż 28-3.gif (109 bytes), więc jest to globalnie najmniejsza wartość funkcji. Największej wartości funkcja ta nie przyjmuje.

Sprawdź za pomocą programu, jakie ekstrema ma funkcja y = abs-xdo2-4x-5.gif (180 bytes) {abs(x^2-4*x-5)}.

Otrzymałeś wykres i wyniki liczbowe. Spróbuj uzasadnić, dlaczego dla x = 2 funkcja ma maksimum i czy jest to największa wartość funkcji.

Dla x = 2 funkcja ma maksimum, ponieważ z obu stron tego punktu wartości funkcji są mniejsze niż 9. To maksimum nie jest jednak największą wartością funkcji.

Która z funkcji ma ekstremum: y =pierwiastek-z-x.gif (88 bytes) {sqrt(x)}, czy y =pierwiastek-z-abs-x.gif (124 bytes) {sqrt(abs(x))}? Przypomnij sobie, jak wyglądają wykresy tych funkcji i spróbuj samodzielnie, bez pomocy komputera, rozwiązać to zadanie.

Funkcja y = pierwiastek-z-x.gif (88 bytes) nie ma ekstremum. Dla punktu x = 0 funkcja osiąga wprawdzie najmniejszą wartość równą 0, ale nie jest to minimum, ponieważ z lewej strony punktu funkcja nie jest określona. Nie istnieje więc otoczenie, w którym wartość ta jest najmniejsza.
Funkcja  y = pierwiastek-z-abs-x.gif (124 bytes) ma w punkcie x = 0 minimum. Z obu stron punktu wartości są większe niż 0.  

Sprawdźmy jeszcze, czy funkcja y = x - [x]2 {x-int(x)^2} ma ekstrema.

Funkcja ma trzy minima. Przeanalizuj dokładnie, dlaczego są to minima, np. dlaczego w punkcie x = 2 jest minimum równe -2, a nie maksimum równe 1.

Z powyższych rozważań wynika określenie minimum i maksimum funkcji.

Funkcja f(x) ma w punkcie x0 minimum (maksimum) równe f(x0), jeżeli istnieje otoczenie punktu x0, w którym  f(x0) jest najmniejszą (największą) wartością funkcji.

W  jaki sposób można wyznaczyć ekstremum funkcji?

Ponieważ ekstrema są to lokalnie najmniejsze lub największe wartości, więc ogólna zasada polega na zbadaniu, w których miejscach funkcja zmienia się z malejącej na rosnącą (minimum) lub z rosnącej na malejącą (maksimum).

Uwaga: Powyższa zasada dotyczy punktów, w których funkcja jest ciągła. W innych przypadkach należy stosować specyficzne metody, patrz przykład funkcji  y = x - [x]2 {x-int(x)^2}. Do wyznaczenia przedziałów monotoniczności można wykorzystać pochodną (patrz lekcja "Monotoniczność funkcji").

Dla funkcji y = xdo4-d-4-4xdo3-d-3.gif (336 bytes) otrzymujemy:
y ' = x3 - 4x2 - x + 4 = x2(x - 4) - (x - 4) = (x - 4)(x2 - 1) = (x - 4)(x - 1)(x + 1).
Rozwiązując nierówność y ' > 0, czyli  (x - 4)(x - 1)(x + 1) > 0, otrzymujemy przedziały, w których funkcja rośnie: (-1, 1), (4, nieskonczonosc.gif (860 bytes)).
W pozostałych przedziałach: (-nieskonczonosc.gif (860 bytes), -1), (1, 4) funkcja maleje.
Zatem w punktach x = -1 i x = 4 funkcja zmienia się z malejącej na rosnącą i ma w tych punktach minimum: ymin(-1) = 13-12.gif (109 bytes), ymin(4) = 28-3.gif (109 bytes); w punkcie x = 1 funkcja zmienia się z rosnącej na malejącą, ma więc maksimum: ymax(1) = 77-12.gif (112 bytes).

Zadanie 1

Wyznacz, analogicznie do powyższego przykładu, ekstrema funkcji y = x3 - x2 - x + 1  {x^3-x^2-x+1} i sprawdź wyniki za pomocą programu.

Zadanie 2

Zbadaj, dla jakiej wartości parametru a funkcja  y =  1-12x-do-3.gif (282 bytes) {1/12*x^3+a/2*x^2+x+1} ma ekstremum.

Zadanie 3

Sprawdź za pomocą programu, że funkcja y = ax3+bx2+cx+d {a*x^3+b*x^2+c*x+d}, w której wszystkie parametry a, b, c, d są równe 1, nie ma żadnego ekstremum. Który parametr należy zwiększyć o 1, aby funkcja miała ekstrema? Spróbuj odpowiedzieć na to pytanie bez pomocy komputera.

Zadanie 4

Rozpatrujemy funkcje wymierne y = w-p.gif (176 bytes), gdzie p(x) jest wielomianem drugiego stopnia o ujemnym wyróżniku, zaś w(x) jest wielomianem pierwszego lub zerowego stopnia. Zbadaj na różnych przykładach, ile maksymalnie ekstremów ma ta funkcja. Spróbuj udowodnić odpowiedź.

Zadanie 5

Dana jest rodzina funkcji y = x + a-x-do-2.gif (97 bytes) {x + a/x^2}. Znajdź równanie krzywej, będącej zbiorem punktów ekstremalnych krzywych tej rodziny.

Odpowiedzi

1. ymax(-1-3.gif (880 bytes)) = 32-27.gif (117 bytes) w-przyblizeniu.gif (844 bytes)1.1852, ymin(1) = 0.

2. a < -1 lub a > 1.

3. Parametr b.

4. Maksymalnie 2. Dowód można przeprowadzić, analizując pochodną tej funkcji.

5. Prosta y = 3/2x bez punktu (0, 0).