Deska Galtona

Na lekcji zapoznasz się z zastosowaniem deski Galtona do wyznaczania prawdopodobieństw w schemacie Bernoulliego. Schematem Bernoulliego nazywamy doświadczenie losowe składające się z serii n niezależnych prób.

Wpisz do okienka oznaczonego "n = " wartość 17, do okienka "p =" wartość 0.5, naciśnij przycisk "Wolno" i obserwuj drogę kuleczki.

Kuleczka pojawia się na górze deski i spada w dół, przemieszczając się między kołeczkami. Po opuszczeniu ostatniego rzędu kołeczków wpada do którejś z przegródek oznaczonych liczbami od 0 do 17. Każda taka droga kuleczki jest schematem 17 prób Bernoulliego.

Ile razy każda kuleczka "zastanawia się", w którą stronę skręcić - w lewo czy w prawo?

17 razy.

Naciśnij przycisk "Szybko" i zobacz, jak losowo rozmieści się 910 kuleczek.

Kuleczki nie są rozmieszczone równomiernie we wszystkich przegródkach, w środkowych przegródkach jest dużo kuleczek, a im dalej od środka, tym kuleczek jest coraz mniej.

Powtórz to doświadczenie kilka razy, naciskając "Szybko", i spróbuj zauważyć, co zmienia się za każdym razem, a co pozostaje bez zmian.

Dla danego n, w tym przypadku dla n = 17, liczba wszystkich kuleczek nie zmienia się i wynosi 910, natomiast liczba kuleczek w poszczególnych przegródkach zmienia się, ponieważ doświadczenie przebiega losowo. Niebieskie kółeczka i liczby stojące przy nich nie zmieniają się. Oznaczają one prawdopodobieństwa wpadnięcia kuleczki do danej przegródki. Wartości te są podane z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Odkrycie sposobu ich obliczania jest celem tej lekcji.

Jaka jest częstość wpadnięcia kuleczki do przegródki numer 6?

Aby wyznaczyć częstość, należy odczytać, ile kuleczek wpadło do przegródki numer 6, i podzielić tę wartość przez liczbę wszystkich kuleczek. Np. jeśli liczba kuleczek w tej przegródce wynosi 84, to częstość wynosi w przybliżeniu 0,09. 

W jaki sposób obliczyć prawdopodobieństwo, że kuleczka wpadnie do przegródki numer 6?
To pytanie jest najważniejszym pytaniem tej lekcji. Jeśli będziemy umieli to obliczyć dla przegródki numer 6, to analogicznie będziemy mogli obliczyć dla każdej innej.

Naciśnij przycisk "Wolno" i poczekaj, aż przynajmniej jedna kuleczka wpadnie do przegródki numer 6. W tym czasie pomyśl, co musi się stać, aby kuleczka wpadła do przegródki numer 6.

Kuleczka może wpaść do przegródki numer 6 pokonując różne drogi - patrz poniższy rysunek.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że kuleczka przejdzie drogą czerwoną?

Kuleczka musi skręcić 6 razy w stronę zaznaczoną pogrubionym czerwonym odcinkiem. Prawdopodobieństwo każdego takiego skrętu wynosi i będziemy uznawać go za sukces, zatem prawdopodobieństwo sukcesu wynosi .  Prawdopodobieństwo sześciu takich sukcesów na drodze czerwonej wynosi więc  , ale aby dotrzeć do przegródki o numerze 6, kuleczka musi jeszcze 11 razy skręcić w przeciwną stronę i  to prawdopodobieństwo wynosi . Zatem prawdopodobieństwo wyboru drogi czerwonej wynosi .

Jakie jest prawdopodobieństwo, że kuleczka przejdzie drogą niebieską?

Kuleczka skręca najpierw 6 razy w stronę pokazaną przez niebieski pogrubiony odcinek, a następnie 11 razy w przeciwną stronę, zatem prawdopodobieństwo wyboru drogi niebieskiej również wynosi .

Jakie jest prawdopodobieństwo, że kuleczka przejdzie drogą zieloną?

Kuleczka skręca najpierw 11 razy w stronę pokazaną przez zielony cienki odcinek, a następnie 6 razy w przeciwną stronę, zatem prawdopodobieństwo wyboru drogi zielonej również wynosi .

Ile jest wszystkich dróg prowadzących do przegródki numer 6?

Dróg jest tyle, na ile sposobów można wybrać 6 skrętów w jedną stronę spośród wszystkich 17 skrętów, czyli . Pozostałych 11 skrętów jest już jednoznacznie wyznaczonych przez wybór tych sześciu. Oczywiście, można tę samą liczbę dróg otrzymać ze wzoru , ponieważ wiadomo, że = . Sprawdź to!

Jakie jest więc prawdopodobieństwo, że kuleczka wpadnie do przegródki numer 6?
Prawdopodobieństwo to wynosi: ^. = 12376 ^. 0,09.
Nazywamy je  prawdopodobieństwem sześciu sukcesów w schemacie 17 prób Bernoulliego.

Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania siedmiu sukcesów w schemacie 17 prób Bernoulliego?

Prawdopodobieństwo to wynosi: ^. = 19448 ^. 0,15.

Jakie jest prawdopodobieństwo k sukcesów w schemacie 17 prób Bernoulliego?

Prawdopodobieństwo to wynosi: ^. .

Załóżmy, że deska Galtona ma 9 przegródek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kuleczka wpadnie do przegródki numer k?

Prawdopodobieństwo to wynosi: ^.

Sprawdź za pomocą programu i odpowiednich obliczeń prawdziwość powyższego wzoru dla k = 5. Wpisz do programu n = 9 i naciśnij "Wolno", a po obejrzeniu kilku kuleczek naciśnij "Szybko".

Prawdopodobieństwo pokazywane przez program wynosi 0,25. Ze wzoru
^. dla k = 5 otrzymujemy ten sam wynik: ^. 0,25.

Załóżmy, że deska Galtona ma n przegródek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kuleczka wpadnie do przegródki numer k?

^. - jest to wzór na prawdopodobieństwo k sukcesów  w schemacie n prób Bernoulliego. Przypominamy, że prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu wynosi .

W desce Galtona, a więc i w schemacie Bernoulliego, prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie nie musi zawsze wynosić . Jeżeli deskę przechylimy trochę na bok, to kuleczki będą zsuwać się częściej do przegródek po tej stronie, która jest niżej. Załóżmy więc, że prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie wynosi. Jakie jest teraz prawdopodobieństwo uzyskania np. 8 sukcesów w 10 próbach? Wpisz do okienka "n=" wartość 10, do okienka "p=" wartość w postaci 0,666 i naciśnij "Wolno". Obserwując przejścia kuleczek, zastanów się, jaki będzie wynik. Po przejściu kilkunastu kuleczek naciśnij "Szybko" i odczytaj prawdopodobieństwo.

Prawdopodobieństwo 8 sukcesów w 10 próbach wynosi 0,19.

Ułóż odpowiedni wzór i oblicz prawdopodobieństwo 8 sukcesów  w schemacie 10 prób Bernoulliego, jeżeli prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu wynosi .

Wzór ma postać: ^. . Podstawiając n = 10 i k = 8, otrzymujemy: 0,19.

Jaki jest ogólny wzór na prawdopodobieństwo k sukcesów  w schemacie n prób Bernoulliego, jeżeli prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie wynosi p?

Wzór ogólny ma postać: .

Zadanie 1

Rzucamy 10 razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania:

a) 2 orłów;
b) co najmniej dwóch orłów?

Zadanie 2

Wybierz zdanie prawdziwe.
a) Prawdopodobieństwo otrzymania 5 orłów w 10 rzutach jest równe prawdopodobieństwu otrzymania 1 orła w 2 rzutach.
b) Prawdopodobieństwo otrzymania 5 orłów w 10 rzutach jest dużo mniejsze niż prawdopodobieństwo otrzymania 1 orła w 2 rzutach.
c) Prawdopodobieństwo otrzymania 5 orłów w 10 rzutach jest dużo większe niż prawdopodobieństwo otrzymania 1 orła w 2 rzutach.

Zadanie 3

Sprawdź, w ilu i w których przegródkach deski Galtona mieści się 90% wszystkich kulek. Przyjmujemy, że n = 10.

Zadanie 4

Rzucamy 10 razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania:

a) pięciu "szóstek";
b) co najwyżej pięciu "szóstek"?

Zadanie 5

Wykorzystaj program "Deska Galtona" i wyznacz najczęściej otrzymywaną liczbę "szóstek" w 10 rzutach kostką.

Programowanie deski Galtona w  języku Pascal

Poniższy program wyświetla deskę Galtona z czterdziestoma przegródkami i realizuje próby w schemacie Bernoulliego.

program Deska_Galtona;
uses graph,crt;
var n,k,i,wi,ko,ilO : integer;
    t:array[0..40] of integer;
begin
  k:=detect; initGraph(k,n,'');
  randomize;
  for n:=0 to 40 do
  for k:=1 to n+2 do fillEllipse(k*14+287-n*7,n*5+10,1,1);
  for i:=1 to 400 do
      begin
        ko:=308; wi:=10; fillEllipse(ko,wi,2,2);
        for n:=1 to 40 do
            begin
              setColor(black); setFillStyle(1,black); fillEllipse(ko,wi,2,2);
              if random<0.5 then ko:=ko-7 else ko:=ko+7; wi:=wi+5;
              setColor(lightRed); setFillStyle(1,lightRed); fillEllipse(ko,wi,2,2);
              delay(30);if keyPressed then exit;
            end;
        setColor(black); setFillStyle(1,black); fillEllipse(ko,wi,2,2);
        ilO:=(ko-28) div 14; t[ilO]:=t[ilO]+1;
        setColor(lightRed); setFillStyle(1,lightRed); fillEllipse(ko,477-t[ilO]*4,2,2);
      end;
  readLn; closeGraph;
end.

Po uruchomieniu programu otrzymujemy symulacje przejścia 400 kulek w desce Galtona:

Odpowiedzi

1. a) 0,04; b) 0,99.

2. Zdanie b) jest prawdziwe; prawdopodobieństwo otrzymania 5 orłów w 10 rzutach jest o około 50% mniejsze niż prawdopodobieństwo otrzymania 1 orła w 2 rzutach.

3. W pięciu środkowych przegródkach.

4. a) 0,01; b) 0,99.

5. W dziesięciu rzutach kostką najczęściej otrzymamy jedną "szóstkę".