Statystyka opisowa
Na lekcji nauczysz się obliczać
podstawowe wielkości statystyczne: średnią, medianę,
wariancję i odchylenie standardowe oraz sporządzać
diagramy danych statystycznych.
Przykład 1
Wczytaj za pomocą przycisków 
przykład 1.
Otrzymałeś zestaw danych,
przedstawiający liczbę punktów uzyskanych przez uczniów
pewnej klasy ze sprawdzianu z matematyki. Każda liczba to
wynik jednego ucznia. Możesz już obliczać poszczególne
wielkości statystyczne, naciskając przyciski od 
do 
. Oto
objaśnienia do kolejnych obliczeń:
| - porządkowanie danych |
Naciskając ten przycisk, otrzymujemy dane
uporządkowane od najmniejszej do największej.
|
 - minimum, maksimum,
liczność, mediana |
Minimum jest równe 1;
oznacza ono najmniejszą liczbę punktów, jaką
uzyskał któryś z uczniów.
Maksimum jest równe 50; oznacza ono największą
liczbę punktów, jaką uzyskał któryś z
uczniów.
Liczność (zmienna oznaczona literą "n")
wynosi 36; oznacza ona liczbę danych, czyli
liczbę uczniów tej klasy.
Mediana wynosi 21. Mediana oznacza środkową
daną wśród uporządkowanych danych. Ponieważ
jednak dla parzystej liczby danych, a taką mamy
w tym przypadku, nie ma środkowej danej, więc
za medianę przyjmuje się średnią
arytmetyczną dwóch środkowych danych:  = 21.
|
 - grupy |
Dane zostały podzielone na grupy. Do grupy 1-5 należą wyniki tych
uczniów, którzy uzyskali od jednego do pięciu
punktów; do grupy 6-10 należą wyniki tych
uczniów, którzy uzyskali od sześciu do
dziesięciu punktów; itd. Grupowanie stosuje
się wtedy, gdy danych jest dużo i chcemy
przedstawić je w zwięzłej formie.
Przyjęliśmy, że liczba grup w naszym programie
będzie wynosić co najwyżej 10. Bardzo często
grupy tworzy się jeszcze przed rozpoczęciem
badań, a w czasie zbierania danych od razu
przyporządkowuje się je do odpowiednich grup.
|
 - liczebność grup |
Wielkość ta czasami
określana jest słowem "częstość",
ale dla uniknięcia pomyłek z częstością
zdarzeń, będącą liczbą z przedziału [0, 1],
przyjęliśmy tutaj nazwę
"liczebność" (zmienna "k").
Oznacza ona liczbę danych mieszczących się w
danej grupie, np. w grupie 1-5 mieszczą się
wyniki dwóch uczniów, w grupie 6-10 wynik
jednego ucznia, w grupie 11-15 wyniki 7 uczniów,
itd. Suma wszystkich liczebności jest
oczywiście równa liczbie wszystkich uczniów,
czyli 36.
Po naciśnięciu program sporządza diagram. Pierwszy
słupek obrazuje pierwszą grupę uczniów, czyli
tych uczniów, którzy uzyskali od 1 do 5
punktów. Ponieważ takich uczniów jest dwóch,
więc słupek ma wysokość 2. Czwarty słupek
obrazuje grupę 8 uczniów, którzy uzyskali od
16 do 20 punktów. Sprawdź, że suma wysokości
wszystkich słupków wynosi 36.
|
 - środki grup |
Środki grup (zmienna
"x") są środkowymi
wartościami w każdej grupie. Na przykład,
środkowa wartość w grupie 1-5 wynosi 3,
środkowa wartość grupy 6-10 wynosi 8, itd. Do
dalszych obliczeń będą brane właśnie te
środkowe wartości. Oczywiście, spowoduje to
uśrednienie wyników, ponieważ zamiast
rzeczywistych wyników będą brane ich średnie,
np. w grupie 1-5 jeden z uczniów zdobył 1
punkt, a drugi zdobył 5 punktów, natomiast do
dalszych obliczeń zostanie wzięta wartość 3,
czyli tak, jakby obaj zdobyli po 3 punkty. W
rzeczywistych badaniach, gdy danych jest dużo,
takie uśrednianie nie powoduje jednak istotnego
zniekształcenia końcowych wyników i wnioski
płynące z takiego przetwarzania danych są
prawdziwe.
|
 - średnia
arytmetyczna |
Średnia arytmetyczna
(zmienna "m") obliczana jest
ze wzoru podanego w programie. Wskaźnik "i"
w ostatnim składniku sumy oznacza liczbę grup.
Liczby 6, 8, 91, 144, itd., to kolejne składniki
sumy występujące w tym wzorze. Na przykład k1.x1
= 2.3 = 6, k2.x2
= 1.8 = 8, itd. Sprawdź, że suma
tych liczb podzielona przez n = 36 daje
rzeczywiście średnią 22,166666  22,17.
|
 - wariancja |
Wariancja (zmienna
"w") obliczana jest ze wzoru
podanego w programie. Liczby 734,7, 200,7, itd.
to kolejne składniki sumy występującej w tym
wzorze. Na przykład k1.(x1-m)2
= 2.(3-22,166666)2 =
734,7221711 734,7. Sprawdź, czy suma liczb:
734,7 + 200,7 + ... + 667,4 podzielona przez n
= 36 daje rzeczywiście wariancję 107,64.
|
| - odchylenie
standardowe |
Odchylenie standardowe
(zmienna "s") jest
pierwiastkiem kwadratowym z wariancji. Sprawdź,
że  = 10,37.
Odchylenie standardowe oznacza średnie
odchylenie danych od średniej arytmetycznej. W
tym przykładzie odchylenie wynosi 10,37 i
oznacza ono tzw. średni rozrzut ocen - liczby
zdobytych punktów są średnio oddalone o około
10 od średniej arytmetycznej 22.
|
Przykład 2
Wczytaj za pomocą przycisków przykład 2.
Otrzymałeś zestaw danych
przedstawiający wagę (w kilogramach) uczniów pewnej klasy.
Uporządkuj dane, naciskając i spróbuj sam wyznaczyć wartość minimalną,
wartość maksymalną i medianę. Sprawdź swoje obliczenia,
naciskając .
Spróbuj teraz samodzielnie podzielić dane na 10 grup.
Wystarczy, że dobrze określisz pierwszą grupę i
szerokość grup. Sprawdź swoje obliczenia, naciskając .
Postępuj analogicznie z punktami od do : najpierw próbuj samodzielnie wyznaczyć
odpowiednie wartości, a następnie sprawdzaj swoje wyniki,
naciskając odpowiedni przycisk.
Zadanie 1
Sprawdź, czy diagram dla danych z przykładu 2 jest
symetryczny, a jeśli tak, to określ jego oś symetrii.
Zadanie 2
Zmień dwie dane w tabeli tak, aby średnia arytmetyczna
zmniejszyła się, a diagram nie stracił symetrii. Uwaga
techniczna: jeśli po zmianie danych chcesz wrócić do
wyjściowych danych, naciśnij przycisk "Odśwież"
, znajdujący się w
panelu przeglądarki. Przycisk 
w panelu programu czyści wszystkie obliczenia,
pozostawiając aktualne dane.
Zadanie 3
Dodaj do zestawu dwie nowe dane tak, aby średnia
arytmetyczna zmniejszyła się, a diagram nie stracił
symetrii.
Zadanie 4
Zmień dwie dane w tabeli tak, aby odchylenie standardowe
zmniejszyło się, a diagram nie stracił symetrii.
Zadanie 5
Dodaj do zestawu dwie nowe dane tak, aby odchylenie
standardowe zmniejszyło się, a diagram nie stracił
symetrii.
Przykład 3
Wczytaj za pomocą przycisków przykład 3.
Otrzymałeś zestaw danych,
przedstawiający sumę bramek zdobytych w 21 meczach
rozegranych w pewnym turnieju piłki nożnej.
Spróbuj samodzielnie wyznaczać kolejne wartości:
minimum, maksimum, liczność, medianę, średnią
arytmetyczną, wariancję, odchylenie standardowe i sprawdzaj
swoje wyniki, naciskając odpowiedni przycisk.
Zadanie 6
Zamień jedną z danych tak, aby otrzymać diagram
symetryczny.
Zadanie 7
Dodaj do zestawu jedną daną tak, aby otrzymać diagram
symetryczny.
Zadanie 8
Zamień jedną z danych tak, aby otrzymać możliwie
najmniejsze odchylenie standardowe.
Zadanie 9
Dodaj do zestawu jedną daną tak, aby otrzymać możliwie
najmniejsze odchylenie standardowe.
Własne przykłady danych
W programie "Statystyka" możesz też
przetwarzać własne zestawy, zawierające od 2 do 36 danych.
Przykład 4
Wpisz w pierwszych pięciu okienkach dane: 1, 2, 3, 4, 5.
Szóste okienko pozostaw puste i naciśnij "Licz i
rysuj".
Uwaga: Program pobiera dane tylko do napotkania pierwszego
pustego okienka, więc wartości w dalszych okienkach nie
trzeba kasować.
Średnia arytmetyczna dla tych danych wynosi 3, zaś
odchylenie standardowe 
1,41.
Zadanie 10
Jak zmieni się średnia arytmetyczna i odchylenie
standardowe, gdy do zestawu danych: 1, 2, 3, 4, 5 dodamy
kolejne dwie dane: 6 i 7?
Zadanie 11
Jak zmieni się średnia arytmetyczna i odchylenie
standardowe, gdy każdą daną z zestawu: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
zwiększymy o 1?
Zadanie 12
Pewien zestaw danych zawiera: 1 jedynkę, 2 dwójki, 3
trójki, 4 czwórki, 5 piątek, 6 szóstek, 7 siódemek i 8
ósemek. Oszacuj średnią arytmetyczną i odchylenie
standardowe tych danych, a następnie sprawdź oszacowania za
pomocą programu.
Zadanie 13
Pewien zestaw danych zawiera: 1 dziesiątkę, 2
dwudziestki, 3 trzydziestki, 4 czterdziestki, 5
pięćdziesiątek, 6 sześćdziesiątek, 7 siedemdziesiątek
i 8 osiemdziesiątek. Oszacuj średnią arytmetyczną i
odchylenie standardowe tych danych, a następnie sprawdź
oszacowania za pomocą programu.
Zadanie 14
Zmień możliwie najmniejszą liczbę danych w zestawie z
zadania 13 tak, aby otrzymać diagram symetryczny.
Zadanie 15
Dla którego zestawu danych, przedstawionych na diagramach
A, B, C, D:
a) średnia arytmetyczna jest najmniejsza, a
dla którego największa;
b) odchylenie standardowe jest najmniejsze,
a dla którego największe?
diagram A
diagram B
diagram C
diagram D
Zadanie 16
| Wierzchołki słupków wielu
diagramów można przybliżać krzywą normalną
(więcej o krzywej normalnej możesz dowiedzieć się
z lekcji "Rozkład normalny"). |
 |
Podaj przykład zestawu takich 36 danych, aby po
narysowaniu diagramu, jego słupki można było przybliżyć
krzywą normalną.
Obliczenia statystyczne w arkuszu
kalkulacyjnym
Zapoznaj się teraz ze sposobami obliczeń średniej
arytmetycznej i odchylenia standardowego za pomocą arkusza
kalkulacyjnego. Prezentujemy to dla danych z przykładu 1, oznaczających liczbę punktów uzyskanych
przez uczniów pewnej klasy ze sprawdzianu z matematyki.
I sposób - dane niezgrupowane
Wartości średniej i odchylenia standardowego dla danych
niezgrupowanych są zawsze obliczone dokładnie. Natomiast
diagramy dla danych niezgrupowanych są mało przydatne, np.
z powyższego diagramu nie można wyciągnąć żadnych
wniosków dotyczących ważnych wyników sprawdzianu.
II sposób - dane zgrupowane
Wartości średniej i odchylenia standardowego dla danych
zgrupowanych są przybliżone. Jest tak dlatego, że dane w
każdej grupie są reprezentowane przez środek grupy, a nie
przez rzeczywiste wartości (w naszym arkuszu środki grup
znajdują się w kolumnie F). W tym przykładzie różnica
pomiędzy dokładną wartością odchylenia standardowego a
jego wartością obliczoną z danych zgrupowanych wynosi
0,24. W rzeczywistych badaniach statystycznych, gdy danych
są tysiące, błędy są znacznie mniejsze. Natomiast
diagramy dla danych zgrupowanych są bardzo przydatne i
można z nich odczytać wiele ważnych informacji. W tym
przypadku widać, ilu uczniów uzyskało daną liczbę
punktów i w jakim zakresie mieści się większość
wyników oraz jaki jest rozrzut wyników sprawdzianu.
Zadanie 17
Wykonaj za pomocą arkusza kalkulacyjnego obliczenia
statystyczne i wykres dla danych z przykładu 2.
Programowanie obliczeń
statystycznych w języku Pascal
Poniżej przedstawiamy programy w języku Pascal,
wykonujące obliczenia średniej i odchylenia standardowego
oraz sporządzające diagramy dla danych z przykładu 1. Dane
te oznaczają liczbę punktów
uzyskanych przez uczniów pewnej klasy ze sprawdzianu z
matematyki.
I sposób - dane niezgrupowane
Program
statystyka_dane_niezgrupowane;
uses graph;
var n,k,suma:integer;
srednia,wariancja,odch_stand:real;
const l_d=36;
t:array[1..l_d] of integer =
(12,20,1,31,22,27,35,19,39,25,11,27, 5,33,24,28,17,32,
8,22,38,16,12,22,29,50,13,19,23,15,18,14,17,18,15,41);
begin
n:=detect; initGraph(n,k,'');
write('Dane: ');suma:=0;
for n:=1 to l_d do write(t[n],' ');
for n:=1 to l_d do suma:=suma+t[n];
srednia:=suma/l_d;
writeLn; writeLn('srednia arytmetyczna =
',srednia:1:6);
wariancja:=0;
for n:=1 to l_d do
wariancja:=wariancja+(t[n]-srednia)*(t[n]-srednia);
writeLn('odchylenie standardowe =
',exp(1/2*ln(wariancja/l_d)):1:6);
for n:=1 to l_d do bar(n*12,150,n*12+8,150-t[n]);
readln;
end.
Po uruchomieniu tego programu otrzymujemy
następujące wyniki:
II sposób - dane zgrupowane
Program
statystyka_dane_zgrupowane;
uses graph;
const l_d=36; l_g=10;
t:array[1..l_d] of integer
=(12,20,1,31,22,27,35,19,39,25,11,27,5,33,24,28,17,32,
8,22,38,16,12,22,29,50,13,19,23,15,18,14,17,18,15,41);
var n,k,min,max,czestosc:integer;
suma,sz_g,srednia,wariancja,odch_stand:real;
tcz:array[1..l_g] of integer;
tsg:array[1..l_g] of real;
begin
n:=detect; initGraph(n,k,'');
write('Dane: ');
for n:=1 to l_d do write(t[n],' '); writeLn;
min:=t[1]; for n:=1 to l_d do if t[n]<min
then min:=t[n];
max:=t[1]; for n:=1 to l_d do if t[n]>max
then max:=t[n];
writeLn('minimum = ',min,' maksimum = ',max);
sz_g:=(max-min+1)/10; suma:=0;
write('grupy: ');
for n:=0 to l_g-1 do
write(min+n*sz_g:2:0,'-',min+(n+1)*sz_g-1:2:0,' ');
writeLn; write('czestosci: ');
for n:=0 to l_g-1 do
begin
czestosc:=0;
for k:=1 to l_d do if
(t[k]>=min+n*sz_g)and(t[k]<=min+(n+1)*sz_g-1)
then czestosc:=czestosc+1;
tcz[n+1]:=czestosc;
write(czestosc:2,' ');
end;
for n:=1 to l_g do
bar(n*30,350,n*30+25,350-20*tcz[n]);
writeLn; write('srodki grup:');
for n:=0 to l_g-1 do
tsg[n+1]:=(min+n*sz_g+min+(n+1)*sz_g-1)/2;
for n:=1 to l_g do write(tsg[n]:4:1,' ');
suma:=0;
for n:=1 to l_g do suma:=suma+tcz[n]*tsg[n];
srednia:=suma/l_d;
writeLn; writeLn('srednia arytmetyczna =
',srednia:1:6);
wariancja:=0;
for n:=1 to l_g do
wariancja:=wariancja+(tcz[n]*(tsg[n]-srednia)*(tsg[n]-srednia));
writeLn('wariancja = ',wariancja/l_d:1:6);
writeLn('odchylenie standardowe =
',exp(1/2*ln(wariancja/l_d)):1:6);
readln;
end.
Po uruchomieniu tego programu otrzymujemy
następujące wyniki:
Zadanie 18
Zmodyfikuj podany wyżej program tak, aby wykonał
obliczenia i wykres dla danych z przykładu 2.
Projekt
Zaplanuj
badania statystyczne dotyczące wyników nauczania swojej
klasy lub szkoły, wyników sportowych klubu sportowego lub
wyników z innych interesujących Cię dziedzin życia.
Przeprowadź zaplanowane badania na reprezentatywnej grupie i
opracuj je statystycznie za pomocą arkusza kalkulacyjnego
lub własnego programu komputerowego. Wykonaj prezentację
komputerową, zawierającą opis przebiegu badań i ich
wyniki wraz z interpretacją i wnioskami.
Odpowiedzi
1. Diagram
z przykładu 2 jest symetryczny względem prostej pionowej,
przechodzącej pomiędzy środkowymi słupkami.
2. Nie
można zmienić dwóch wartości tak, aby diagram pozostał
symetryczny, a średnia się zmieniła.
3. Nie
można dodać dwóch nowych danych tak, aby diagram pozostał
symetryczny, a średnia się zmieniła.
4. Odchylenie
standardowe to miara rozrzutu, więc aby rozrzut zmniejszył
się, dane muszą być bardziej skupione wokół średniej.
Można np. zamiast 45 wpisać 57 i zamiast 73 wpisać 62.
Otrzymujemy odchylenie standardowe równe 8,12.
5. Należy
podać dane bliskie średniej, np. 59 i 60. Otrzymujemy
odchylenie standardowe równe 8,6.
6. Nie
można otrzymać diagramu symetrycznego, zmieniając tylko
jedną daną.
7. Należy
dodać wartość 4.
8. Gdy
zmienimy daną 9 lub daną 0 na 4, otrzymamy najmniejsze
odchylenie standardowe równe 2,46.
9. Najmniejsze
odchylenie standardowe, równe 2,61, otrzymamy, gdy dodamy
wartość 4 lub wartość 5.
10. Średnia
arytmetyczna zwiększy się o 1, odchylenie standardowe
wzrośnie do 2.
11.
Średnia arytmetyczna zwiększy się o 1, odchylenie
standardowe pozostanie bez zmian.
12. Szacowanie
średniej można przeprowadzić następująco: gdyby każda
wartość od 1 do 8 występowała tylko raz, średnia
wynosiłaby 4,5. Jednak w zestawie jest aż 8 ósemek, 7
siódemek, itd., zatem średnia jest zdecydowanie większa
niż 4,5 i może wynosić około 6. Sprawdzając wynik za
pomocą programu, otrzymujemy średnią 5,67.
Szacowanie odchylenia standardowego: zdecydowana większość
danych jest skupiona wokół średniej 5,67. Są to dane o
wartościach 4, 5, 6, 7 i różnią się one od średniej o
mniej niż 2, zatem odchylenie standardowe jest mniejsze od 2
i może wynosić około 1,75. Sprawdzając wynik za pomocą
programu, otrzymujemy odchylenie standardowe równe 1,97.
13.
Ponieważ wszystkie dane z tego zestawu są 10 razy większe
od odpowiednich danych z przykładu 5, więc średnia
arytmetyczna i odchylenie standardowe będą też 10 razy
większe.
14. Można
zmienić 8 danych zaznaczonych kolorem zielonym:
10 20 20 30 30 30 40 40 40 40 50 50 50 50 50 60 60 60 60 40 30 70
70 70 70 70 20 20 80 80 80 80 20 10 10 10.
15. a) Na diagramach A, B, C
średnia arytmetyczna jest równa 4,5, na diagramie D
średnia arytmetyczna wynosi 5,5.
b) na diagramie A odchylenie
standardowe jest najmniejsze i wynosi 1,8, na diagramie C
jest największe i wynosi 2,69.
16. Przykładowy zestaw
danych:
1 2 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5
5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6
6 6 7 7 8 9
17.
18. Należy zmiennej "l_d",
oznaczającej liczbę danych, nadać wartość 30 oraz do
tablicy "t" wprowadzić dane z przykładu 2: 49,64,57,61,40,73,59,54,50,61,60,70,79,74,65,55,52,45,58,61,51,47,58,71,66,55,62,57,69,65.
Po uruchomieniu programu otrzymamy następujące wyniki:
