Równania i nierówności trygonometryczne^(*)

Na lekcji nauczysz się rozwiązywać równania i nierówności trygonometryczne.

Przykład 1.
Rozwiążemy równanie: sinx = 0,5.

Wpisz do programu funkcję sin(x) i naciśnij "Rysuj". Następnie wpisz funkcję 0,5 i naciśnij "Rysuj".
Funkcje przecięły się w kilku punktach, których współrzędne x są rozwiązaniami równania. Czy potrafisz podać te wartości? Czy w dalszych, niewidocznych w oknie programu fragmentach wykresów, również będą takie punkty?

Wiemy, że kąt dla którego sinus jest równy 0,5 wynosi 30^o; w radianach 0,5236. Na poniższym rysunku rozwiązanie to jest oznaczone przez x₀.

W równych odległościach od tego punktu, w lewo i w prawo, aż do nieskończoności, co 360^o (w radianach co 2) występują kolejne rozwiązania. Mamy więc serię rozwiązań:
x = x₀ + k^.360^o = 30^o+k^.360^o, gdzie kC; w radianach odpowiednio: x = x₀+2k = +2k, kC.
Na rysunku widać również drugą serię rozwiązań, są to punkty zaznaczone poniżej, kolorem pomarańczowym.

Pierwszy z tych punktów, najbliższy zera, leży w takiej odległości od , czyli od 180^o, w jakiej punkt 30^o od 0^o. Wynika to z symetrii sinusa. Zatem jest to kąt 180^o - 30^o = 150^o, w radianach odpowiednio: - = . Sprawdź, że rzeczywiście sin150^o = 0,5, oraz sin = 0,5. Mamy więc drugą serię rozwiązań: x = 180^o-x₀ + k^.360^o = 150^o + k^.360^o, kC; w radianach odpowiednio: x =-x₀ + 2k = +2k, kC.

Czy obie serie rozwiązań można zapisać w postaci jednego wzoru?

Tak, jest to wzór: x = (-1)^kx₀ + k^.180^o = (-1)^k.30^o + k^.180^o; w radianach: x = (-1)^kx₀ + k = (-1)^k+ k, gdzie kC. Oto kilka rozwiązań  dla początkowych wartości k:
k = 0:  x = 30^o, w radianach: x = ;
k = 1:  x = 150^o, w radianach: x = ;
k = -1:  x = -210^o, w radianach: x = -;
k = 2:  x = 390^o, w radianach: x = ;
k = -2:  x = -330^o, w radianach: x = -.

Wniosek 1.
Aby rozwiązać równanie sinx = a, należy określić kąt x₀ taki, że sinx₀ = a i zapisać serię rozwiązań: x = (-1)^kx₀ + k^.180^o lub x = (-1)^kx₀ + k, gdzie kC.

Przykład 2.
Rozwiąż nierówność: sinx > 0,5.

Spójrz na wykresy funkcji y = sinx i y = 0,5 i podaj te wartości argumentów x, dla których wartości funkcji y = sinx są większe od wartości 0,5.

Są to argumenty pomiędzy x₀ a -x₀, czyli przedział (x₀, -x₀). Wartość x₀ wynosi oczywiście 30^o, czyli  radiana.

Taka sama sytuacja zachodzi w przedziałach powtarzających się co 2, czyli co 360^o. Mamy zatem pełne rozwiązanie: x (x₀+2k, -x₀+2k) = (+2k, +2k). W stopniach przyjmuje ono postać: x (x₀+k^.360^o, 180^o-x₀+k^.360^o) = (30^o+k^.360^o, 150^o+k^.360^o).

Przykład 3.
Rozwiąż równanie: sinx = 1.

Sporządzając wykresy funkcji y = sinx i y = 1, łatwo zauważyć, że rozwiązaniem jest x = + 2k.
Sprawdź, czy korzystając z wyżej podanego wzoru ogólnego x = (-1)^kx₀ + k, gdzie kC, otrzymasz takie same rozwiązania.

Przykład 4.
Rozwiąż równanie: cosx = -.

Wpisz do programu funkcję cos(x) i naciśnij "Rysuj". Następnie wpisz funkcję: -sqrt(3)/2 i naciśnij "Rysuj".
Funkcje przecięły się w kilku punktach, których współrzędne x są rozwiązaniami równania.

Na wykresie widać dwie serie rozwiązań. Seria zaznaczona kolorem zielonym ma postać: x = x₀ + 2k, zaś seria zaznaczona kolorem pomarańczowym: x = -x₀ + 2k. Łatwo więc podać jeden wzór na obie te serie: x = x₀ + 2k lub x = x₀ + k^.360^o. Wartość x₀ to oczywiście 150^o, ponieważ cos150^o = -. Jeśli o tym zapomniałeś, to możesz to odczytać za pomocą apletu "Wykresy funkcji trygonometrycznych". Wpisz do okienka oznaczonego symbolem "y=" dziesiętną postać ułamka -, wynoszącą -0,866 i naciśnij Enter. Otrzymałeś kąt 150^o, co w radianach daje . Ostatecznie więc rozwiązaniem równania jest: x = 150^o + k^.360^o; w radianach: x = + 2k.

Wniosek 2.
Aby rozwiązać równanie cosx = a, należy określić kąt x₀, taki że cosx₀ = a i zapisać serię rozwiązań: x = x₀ + 2klub x = x₀ + k^.360^o, gdzie kC.

Przykład 5.
Rozwiąż nierówność: cosx < 0,8090.

Sporządzając wykresy funkcji y = cosx i y = 0,8090, widzimy, że funkcja cosx ma wartości mniejsze od 0,8090 w przedziale (x₀, 2-x₀) oraz w przedziałach o tej samej długości przesuniętych o 2.

Zatem rozwiązaniem nierówności jest seria przedziałów:  (x₀+2k, 2-x₀+2k), gdzie kC. Wartość x₀ obliczamy kalkulatorem lub za pomocą apletu "Wykresy funkcji trygonometrycznych". Wpisz do okienka oznaczonego symbolem "y=" wartość 0,8090 i naciśnij Enter. Otrzymałeś kąt 36^o, co w radianach daje . Ostatecznie więc otrzymujemy rozwiązanie: x (+2k, 2-+2k).

Przykład 6.
Rozwiąż równanie: tgx =.

Na podstawie wykresów funkcji y = tgx i y = określamy serię rozwiązań równania: x = x₀ +k. Zwracamy uwagę, że rozwiązania występują co 180^o, czyli co radianów.

Wartość x₀ dla której tgx =, odczytujemy za pomocą kalkulatora lub programu "Wykresy funkcji trygonometrycznych" i otrzymujemy: x₀ = 60^o, czyli . Stąd rozwiązaniem równania jest: x = 60^o + k^.180^o; w radianach: x = + k.

Wniosek 3.
Aby rozwiązać równanie tgx = a, należy określić kąt x₀ taki, że tgx₀ = a i zapisać serię rozwiązań: x = x₀ + klub x = x₀ + k^.180^o, gdzie kC.

Analogicznie rozwiązuje się równanie ctgx = a.

Przykład 7.
Rozwiąż nierówność: ctgx < -1.

Z wykresów funkcji y = ctgx i y = -1 odczytujemy przedział  (x₀, ), w którym wartości cotangensa są mniejsze od -1.

Takich przedziałów jest nieskończenie wiele i wszystkie one tworzą serię rozwiązań: x (x₀+k, +k).
Wartość x₀, dla której ctgx = -1, wynosi 135^o, czyli . Stąd rozwiązaniem nierówności jest: x (135^o+k, 180^o+k); a w radianach: x (+k, +k).

Przykład 8.
Rozwiąż równanie: sin2x = .

Równanie to jest tego samego typu, co równanie sinx = a, dla którego seria rozwiązań ma postać: x = (-1)^kx₀ + k, gdzie kC. Wiemy, że = sin45^o = sin, zatem x₀ = 45^o; a w radianach: x₀ = . Wstawiając tę wartość do wzoru i zastępując x wyrażeniem 2x, otrzymujemy:  2x = (-1)^k + k, a stąd x = (-1)^k + k, gdzie kC.
Sprawdzenie:
k = 0; x = (-1)⁰ + 0^. = ; sin(2^.) = sin =   -  wynik prawidłowy;
k = 1; x = (-1)¹ + 1^. = -+ = ; sin(2^.) = sin =   -   wynik prawidłowy;

^(*) W tej lekcji wykorzystaliśmy aplet z płyty Matematyka z komputerem. Klasa 1.