Wielomiany
- działania na wielomianach
Na lekcji zapoznasz się z wykresami wielomianów oraz
interpretacją geometryczną działań na wielomianach.
Uwaga. W programie "Wielomiany II"
współczynniki mogą być tylko liczbami całkowitymi. Wzory
wielomianów możesz wywoływać za pomocą trójkącików
lub kopiować z tego tekstu do okienek programu.
Wpisz do okienka oznaczonego "p(x)=" wielomian
x^3-2*x^2-3*x, zaś do okienka "q(x)=" wpisz 0 i
naciśnij przycisk z niebieskim słowem "Rysuj".
Otrzymałeś wykres wielomianu trzeciego stopnia. Miejsca
zerowe wynoszą -1, 0, 3. Spójrz na lewą i prawą gałąź
wykresu: wartości wielomianu dla coraz mniejszych
argumentów są coraz mniejsze (dążą do minus
nieskończoności), zaś dla coraz większych argumentów są
coraz większe (dążą do plus nieskończoności).
Zadanie 1.
Sporządź wykresy podanych niżej wielomianów trzeciego
stopnia i sformułuj wniosek dotyczący położenia lewej i
prawej gałęzi wykresu oraz liczby miejsc zerowych. Podane
wielomiany możesz wywołać za pomocą trójkącików.
a) -x^3-3*x^2+x+3;
b) x^3-x^2-8*x+12;
c) 3*x^3+4*x^2+3*x+4;
d) 2*x^3-x^2-x-3;
e) x^3+2*x^2-3*x;
f) -x^3+2*x^2+5*x-6;
g) x^3-2*x^2-3*x;
Zadanie 2.
Sporządź wykresy podanych wielomianów czwartego stopnia i
sformułuj wniosek dotyczący położenia lewej i prawej
gałęzi wykresu oraz liczby miejsc zerowych. Podane
wielomiany możesz wywołać za pomocą trójkącików.
a) x^4-2*x^3-x^2+2*x;
b) x^4+2*x^3-5*x^2-4*x+6;
c) x^4+5*x^2-4;
d) -x^4-2*x^3+x^2+2*x;
e) x^4-x^3-7*x^2+13*x-6;
f) x^4+3*x^3-3*x^2+3*x-4;
g) -x^4+3*x^3;
h) x^4-3*x^2-4;
i) x^4-4*x^3+6*x^2-4*x+1;
j) 4x^4-20*x^3+29*x^2-20*x+25;
k) x^4-2*x^3-x^2+2*x+2;
l) -x^4-1.
Zadanie 3.
Sporządź wykresy podanych wielomianów piątego stopnia i
sformułuj wniosek dotyczący położenia lewej i prawej
gałęzi wykresu liczby miejsc zerowych. Podane wielomiany
możesz wywołać za pomocą trójkącików.
a) x^5-5*x^4-5*x^3+25*x^2+4*x-20;
b) x^5-2*x^4-13*x^3+14*x^2+24*x;
c) -x^5-x^4+9*x^3+13*x^2-8*x-12;
d) 3*x^5-x^4-15*x^3+5*x^2;
e) 2*x^5+x^4-7*x^3-5*x^2-4*x+4;
f) -x^5+2*x^4-x^3+8*x^2-16*x+8;
g) x^5+3*x^4-x^3-3*x^2+x+3;
h) x^5-1.
Zadanie 4.
Sporządź wykresy wielomianów wyższych niż piątego
stopnia i sformułuj ogólny wniosek dotyczący przebiegu
lewej i prawej gałęzi wykresu oraz liczby miejsc zerowych.
Zadanie 5.
Podaj przykład wielomianu trzeciego stopnia, którego
miejsca zerowe są równe: 1, 2, 3.
Zadanie 6.
Dany jest wielomian p(x) = x^3-2*x^2-x+2, przedstawiony
jako niebieski wykres na poniższych rysunkach. Wpisz do
okienka "q(x)=" taki wielomian q(x), aby po naciśnięciu
niebieskiego przycisku "Rysuj" uzyskać
następującą parę wykresów:
a)
b)
Suma wielomianów
Wpisz do okienka oznaczonego "p(x)=" wielomian
x^3-x^2-8*x+12, zaś do okienka oznaczonego "q(x)="
wielomian stały 5 (zerowego stopnia) i naciśnij przycisk z
niebieskim słowem "Rysuj".
Otrzymałeś wykresy obu wielomianów. Wielomian p(x)
narysowany jest niebieską linią, wielomian q(x) czerwoną
linią.
Zaznacz działanie 
i naciśnij przycisk z zielonym słowem
"Rysuj".
Otrzymałeś sumę wielomianów równą x^3-x^2-8*x+17.
Jest to wielomian trzeciego stopnia. Trzy pierwsze składniki
sumy są takie same jak w wielomianie p(x), zaś wyraz wolny
17 jest sumą wyrazów wolnych 12+5. Zielony wykres sumy jest
przesunięciem wykresu wielomianu p(x) o 5 jednostek w
górę.
Nie zmieniając wielomianu p(x)=x^3-x^2-8*x+12, wpisz do
okienka "q(x)=" wielomian x+5 (pierwszego stopnia) i
naciśnij górny przycisk "Rysuj". Zanim naciśniesz
dolny przycisk "Rysuj", zastanów się, jaki wykres
otrzymasz jako sumę tych wielomianów. Teraz możesz nacisnąć
dolny przycisk "Rysuj".
Otrzymałeś sumę wielomianów równą x^3-x^2-7*x+17.
Jest to wielomian trzeciego stopnia. Dwa pierwsze składniki
są takie same, jak w wielomianie p(x), wyraz -7x jest sumą
-8x+x, zaś wyraz wolny 17 jest sumą wyrazów wolnych 12+5.
Zielony wykres sumy powstał w ten sposób, że do każdej
wartości wielomianu p(x) dodana jest wartość wielomianu
q(x). Spróbuj to dodawanie wykonać geometrycznie - patrz na
punkty niebieskiego wykresu i dodawaj do nich wartości
czerwonego wykresu; otrzymasz punkty zielonego wykresu.
Nie zmieniając wielomianu p(x)=x^3-x^2-8*x+12, wpisz do
okienka "q(x)=" wielomian -x^2+x+5 (drugiego stopnia) i
naciśnij górny przycisk "Rysuj". Zanim naciśniesz
przycisk z zielonym słowem "Rysuj", zastanów się,
jaki wzór będzie miała ich suma i jaki będzie jej wykres
(możesz ten wykres pokazać sobie ruchem myszki na układzie
współrzędnych). Teraz możesz nacisnąć przycisk z zielonym
"Rysuj".
Otrzymałeś sumę wielomianów równą x^3-2*x^2-7*x+17.
Jest to wielomian trzeciego stopnia. Wyraz x^3 jest taki sam,
jak w wielomianie p(x); wyraz -2*x^2 jest sumą wyrazów
-x^2+(-x^2); wyraz -7x jest sumą -8x+x, zaś wyraz wolny 17
jest sumą wyrazów wolnych 12+5.
Analizując położenie niektórych charakterystycznych
punktów obu wielomianów, można sformułować praktyczne
wnioski:
- w punktach, w których jeden z wielomianów ma miejsce
zerowe, suma wielomianów jest równa wartości drugiego
wielomianu;
- w punktach, w których wielomiany przecinają się, suma
wielomianów jest podwójną wartością obu
wielomianów;
- w punktach, w których wielomiany mają przeciwne
wartości, suma wielomianów ma wartość 0, czyli są to
miejsca zerowe zielonego wielomianu;
- jeśli wartości obu wielomianów są ujemne, to zielony
wykres leży poniżej obu wykresów, a jeśli wartości
są dodatnie, to powyżej wykresów;
- jeśli wartości obu wielomianów są przeciwnych
znaków, to zielony wykres leży pomiędzy wykresami obu
wielomianów.
Zadanie 7.
Sprawdź swoje umiejętności określania przebiegu sumy
wielomianów. Wpisuj różne wzory wielomianów, sporządzaj
ich wykresy za pomocą przycisku z niebieskim słowem
"Rysuj" i przed naciśnięciem przycisku z zielonym
"Rysuj", pokazuj ruchem myszki przewidywany wykres
sumy. Następnie naciskaj zielony "Rysuj" i
oceniaj, czy dobrze określiłeś sumę.
Zadanie 8.
Jaki jest stopień sumy dwóch wielomianów?
Zadanie 9.
Dany jest wielomian p(x) = x^3-2*x^2-x+2. Znajdź jak
najprostszy wielomian q(x) taki, aby wykresem sumy p(x) +
q(x) była:
a) parabola; b) prosta; c) funkcja stała.
Zadanie 10.
Na rysunku dane są dwa wielomiany symetryczne względem
prostej y = 15. Wyznacz geometrycznie ich sumę.
Wyznacz wzory obu wielomianów, wiedząc, że miejsca zerowe
niebieskiego wielomianu są całkowite a współczynnik przy
najwyższej potędze zmiennej x wynosi 1.
Różnica wielomianów
Wpisz do programu wielomian p(x) = -x^3+2*x^2+5*x-6 oraz
wielomian q(x) = x^2-x-2 i naciśnij przycisk z niebieskim
"Rysuj".
Zaznacz działanie 
i naciśnij przycisk z zielonym "Rysuj".
Otrzymałeś różnicę wielomianów równą
-x^3+x^2+6*x-4. Składnik -x^3 jest taki sam, jak w
wielomianie p(x). Składnik x^2 jest różnicą: 2*x^2 - x^2.
Składnik 6*x jest różnicą: 5*x - (-x), zaś wyraz wolny
-4 jest różnicą: -6 - (-2).
Współrzędna y każdego zielonego punktu jest
różnicą współrzędnej odpowiedniego niebieskiego i
czerwonego punktu. Można więc geometrycznie odejmować
wielomiany.
Zadanie 11.
Wykonaj dla różnicy wielomianów ćwiczenia podobne do
tych, jakie wykonywałeś dla sumy wielomianów i sformułuj
odpowiednie wnioski.
Iloczyn wielomianów
Wpisz do programu wielomiany pierwszego stopnia: p(x) = 3*x+6
i q(x) = x-3 i sporządź ich wykresy.
Wykresami są proste. Miejscami zerowymi są odpowiednio:
-2 i 3.
Zaznacz działanie 
i naciśnij przycisk z zielonym
"Rysuj".
Otrzymałeś iloczyn wielomianów równy 3*x^2-3*x-18.
Jest to wielomian drugiego stopnia. Jego miejscami zerowymi
są: -2 i 3, czyli miejsca zerowe obu czynników (oczywiście
nie należy się temu dziwić, ponieważ iloczyn wielomianów
p(x) = 3*x+6 i q(x) = x-3, to inaczej (3*x+6)(x-3)).
Poszczególne wyrazy iloczynu dwóch wielomianów powinieneś
nauczyć się wyznaczać w pamięci: 3x.x = 3x2;
3x.(-3) + 6.x = -3x; 6.(-3)
= -18, zatem iloczynem jest: 3x2 -3x -18.
Popatrz jeszcze na zielony wykres i zastanów się, czy
można uzyskać go geometrycznie.
Współrzędne y punktów zielonego wielomianu są
iloczynem odpowiednich współrzędnych punktów niebieskiego
i czerwonego wielomianu. Oczywiście, trochę trudniej
mnożyć niż dodawać wartości, ponieważ trzeba
sprawdzać, jaka jest jednostka i ciągle pamiętać o znaku
iloczynu. Dla liczb dodatnich iloczyn liczb większych od 1
jest liczbą większą od obu liczb, iloczyn liczby większej
od 1 przez liczbę mniejszą od 1 zawiera się między tymi
liczbami, zaś iloczyn dwóch liczb mniejszych od 1 jest
mniejszy od obu tych liczb. Pamiętając o tych zasadach,
można próbować geometrycznie mnożyć wartości.
Zadanie 12.
Narysuj wykresy wielomianów -3*x-6 i x-3 i przed
naciśnięciem przycisku z zielonym "Rysuj,"
spróbuj pokazać myszką, jak będzie przebiegał wykres ich
iloczynu.
Kształt wykresu iloczynu wielomianów można też określić,
wyznaczając jego charakterystyczne punkty, np. miejsca zerowe, a
następnie dorysować odpowiednie fragmenty.
Sporządź wykresy wielomianów p(x) = x^2-3*x-4 i q(x) = x-3
i spróbuj określić kształt ich iloczynu.
Wykresem p(x) jest parabola, wykresem q(x) jest prosta.
Ich iloczynem będzie wielomian trzeciego stopnia, którego
miejscami zerowymi będą miejsca zerowe obu wielomianów,
czyli punkty: -1, 3, 4. W przedziałach: (-
, -1), (-1, 3), (3, 4), (4, ) iloczyn będzie miał stały
znak, który łatwo określić, patrząc na wykres niebieski
i czerwony. W przedziale (-,
-1) iloczyn będzie ujemny, a w dalszych przedziałach na
przemian dodatni, ujemny, itd. Pokaż myszką przebieg tego
wielomianu i naciśnij przycisk z zielonym "Rysuj".
Zadanie 13.
Wpisuj lub wywołuj za pomocą trójkącików wzory różnych
wielomianów i przed naciśnięciem przycisku z zielonym
"Rysuj", pokazuj myszką przewidywany wykres
iloczynu. W każdym przykładzie zwróć uwagę na stopnie
obu wielomianów i stopień ich iloczynu oraz sformułuj
odpowiedni wniosek.
Zadanie 14.
Określ przebieg wykresu iloczynu wielomianów
przedstawionych na poniższych rysunkach:
a)
b)
Zadanie 15.
Dane są wielomiany p(x) = x^3-x^2-8*x+12 i q(x) =
x^2+10*x+25. Podaj wyraz iloczynu tych wielomianów,
zawierający potęgę x^3.
Dzielenie wielomianów
Uwaga. W programie można wykonywać tylko takie
dzielenia, w których ilorazy będą miały całkowite
współczynniki.
Wpisz do programu wielomiany pierwszego stopnia: p(x) = 2*x-6
i q(x) = x-3 i sporządź ich wykresy.
Zaznacz działanie 
i naciśnij przycisk z zielonym
"Rysuj".
Otrzymałeś wynik: 2 reszta: 0. Oba wielomiany są
zerowego stopnia.
Zadanie 16.
Wykonaj dzielenia różnych wielomianów pierwszego stopnia i
określ stopień ilorazu i stopień reszty.
Zadanie 17.
Wykonaj dzielenia różnych wielomianów drugiego stopnia
przez wielomiany pierwszego stopnia i określ stopień
ilorazu i stopień reszty.
Zadanie 18.
Wykonaj dzielenia wielomianów różnych stopni (pamiętaj,
aby stopień wielomianu p(x) był większy lub równy
stopniowi wielomianu q(x)) i określ stopień ilorazu i
stopień reszty. W jakim przypadku reszta wynosi 0?
Zadanie 19.
Rysunek przedstawia wielomiany p(x) i q(x) oraz ich iloraz i
resztę. Podaj wzory wszystkich czterech wielomianów.
Wielomiany mają całkowite współczynniki i współczynnik
przy najwyższej potędze dzielonego wielomianu jest równy
1.
Odpowiedzi
1. Wniosek 1.
Jeśli współczynnik przy x3 jest dodatni,
to dla argumentów dążących do minus nieskończoności
wartości wielomianu dążą do minus nieskończoności, zaś dla
argumentów dążących do plus nieskończoności wartości
wielomianu dążą do plus nieskończoności.
Dla współczynników przy x3 ujemnych,
przebieg jest odwrotny.
Wielomian trzeciego stopnia ma co najmniej jedno miejsce zerowe i
co najwyżej trzy takie miejsca.
2. Wniosek 2.
Jeśli współczynnik przy x4 jest dodatni,
to obie gałęzie są skierowane w górę, jeżeli zaś ujemny,
to w dół.
Liczba miejsc zerowych wielomianu czwartego stopnia może
wynosić: 0, 1, 2, 3, 4.
3. Wniosek 3.
Jeśli współczynnik przy x5 jest dodatni,
to dla argumentów dążących do minus nieskończoności
wartości wielomianu dążą do minus nieskończoności, zaś dla
argumentów dążących do plus nieskończoności wartości
wielomianu dążą do plus nieskończoności. Dla
współczynników przy x5 ujemnych, przebieg
jest odwrotny.
Wielomian piątego stopnia ma co najmniej jedno miejsce zerowe i
co najwyżej pięć takich miejsc.
4. Wniosek 4.
Wielomiany nieparzystego stopnia mają gałęzie skierowane
podobnie, jak wielomiany trzeciego stopnia, zaś wielomiany
parzystego stopnia podobnie, jak wielomiany czwartego stopnia.
Wielomian n-tego stopnia, gdzie n jest liczbą
nieparzystą, ma co najmniej jeden pierwiastek i co najwyżej n
pierwiastków.
Wielomian n-tego stopnia, gdzie n jest liczbą
parzystą, może mieć: 0, 1, 2, ..., n pierwiastków.
5. x^3-6*x^2+11*x-6.
6. a) -x^3+2*x^2+x-2; b) -x^3+2*x^2+x+2.
8. Wniosek 5.
Stopień sumy dwóch wielomianów jest mniejszy lub równy
większemu ze stopni tych wielomianów.
9. a) -x^3; b) -x^3+2*x^2; c) -x^3+2*x^2+x.
10. Sumą jest wielomian stały y = 30 zaznaczony na
poniższym rysunku kolorem zielonym. Niebieski wielomian ma
miejsca zerowe: -2, -1, 1, 2, 5, zatem jest to wielomian p(x) =
x^5-5*x^4-5*x^3+25*x^2+4*x-20. Czerwony wielomian, to q(x) =
-x^5+5*x^4+5*x^3-25*x^2-4*x+50.
11. Wykonaj dla różnicy wielomianów ćwiczenia podobne do
tych, jakie wykonywałeś dla sumy wielomianów i sformułuj
odpowiednie wnioski.
13. Wniosek 6.
Stopień iloczynu dwóch wielomianów jest równy sumie
stopni obu wielomianów.
15. x^3*25 - x^2*10*x - 8*x*x^2 = 7x^3.
16. Iloraz i reszta są wielomianami zerowego stopnia.
17. Iloraz jest wielomianem stopnia pierwszego, reszta
wielomianem stopnia zerowego.
18. Stopień ilorazu dwóch wielomianów p(x) : q(x) jest
różnicą stopnia wielomianu p(x) i stopnia wielomianu q(x). W
przypadku, gdy wszystkie miejsca zerowe wielomianu q(x) są
równe miejscom zerowym wielomianu p(x), reszta z dzielenia
wynosi 0.
19. p(x) = x^5-2*x^4-13*x^3+14*x^2+24*x;
q(x) = x-1; iloraz: x^4-x^3-14*x^2+24; reszta: 24