Za pomocą programu "Systemy liczbowe" zapoznasz się z pozycyjnymi systemami liczenia: szesnastkowym, dziesiątkowym, ósemkowym i dwójkowym.
Zaznacz w programie kropką system
dziesiątkowy 
, wpisz liczbę 2003 i naciśnij Enter
lub "Oblicz".
Otrzymałeś zapis tej liczby w czterech różnych
postaciach: 7D3, 2003, 3723, 11111010011. Wyjaśnimy każdy z
tych zapisów, rozpoczynając od systemu
dziesiątkowego, który jest naszym podstawowym
systemem liczenia. To, że system jest systemem pozycyjnym
oznacza, że pozycja na której stoi cyfra, decyduje o tym,
jaką liczbę ona reprezentuje. Cyfra 3 stojąca na ostatniej
pozycji liczby 2003, oznacza liczbę jednostek, czyli liczbę
potęg 100, w tym przypadku 3.100
= 3. Cyfra 0 stojąca na drugiej pozycji od końca, oznacza
liczbę potęg 101, w tym przypadku 0.101
= 0. Cyfra 0 stojąca na trzeciej pozycji od końca, oznacza
liczbę potęg 102, w tym przypadku 0.102
= 0. Cyfra 2 stojąca na czwartej pozycji od końca, oznacza
liczbę potęg 103, w tym przypadku 2.103
= 2000. Zatem możemy zapisać: 3.100
+ 0.101 + 0.102 +
2.103 = 3 + 2000 = 2003. To samo można
obliczyć prościej, biorąc cyfry 2, 0, 0, 3 w odwrotnej
kolejności: ((2.10+0).10+0).10+3
= 2003.
Analogicznie przedstawia się liczby w każdym systemie
pozycyjnym, z tym, że w każdym systemie jest inna podstawa.
W systemie szesnastkowym podstawą jest liczba 16, w systemie
ósemkowym liczba 8, zaś w systemie dwójkowym liczba 2.
Oczywiście, możliwe są systemy o dowolnej podstawie, ale
nie będziemy się nimi tutaj zajmować.
W systemie dwójkowym podstawą jest
liczba 2 i zawiera on tylko dwie cyfry: 0 i 1. Zatem liczba
11111010011 jest równa (cyfry bierzemy od końca): 1.20+1.21+0.22+0.23+1.24+0.25+1.26+1.27+1.28+
1.29+1.210 =
1+2+0+0+16+0+64+128+256+512+1024 = 2003.
To samo można obliczyć prościej, bez obliczania potęg o
dużych wykładnikach, biorąc cyfry w odwrotnej kolejności:
(((((((((1.2+1).2+1).2+1).2+1).2+0).2+1).2+0).2+0).2+1).2+1
= 2003. W przypadku systemu dwójkowego zamianę taką
można wykonać zawsze w pamięci, ponieważ mnożenie przez
dwa i dodawanie 0 lub 1 jest bardzo łatwe. W tym przypadku
przebiega to następująco:
1.2+1 =>3.2+1 =>7.2+1
=>15.2+1 =>31.2+0 =>62.2+1
=>125.2+0 =>250.2+0 =>500.2+1
=>1001.2+1 =>2003.
Zadanie 1.
Zamień w pamięci liczbę 11111010000 na postać dziesiętną.
W systemie ósemkowym podstawą jest liczba 8 i zawiera on 8 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Zatem liczba 3723, zawiera 3 potęgi 80, 2 potęgi 81, 7 potęg 82 oraz 3 potęgi 83. Łącznie mamy więc: 3.80 + 2.81 + 7.82 + 3.83 = 3.1 + 2.8 + 7.64 + 3.512 = 3 + 16 + 448 + 1536 = 2003.
Podstawą systemu szesnastkowego jest
liczba 16 i posiada on 16 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
A, B, C, D, E, F. Cyfry od 0 do 9, są to te same cyfry, co w
systemie dziesiątkowym. Cyfry A, B, C, D, E, F oznaczają
odpowiednio: A - dziesięć, B - jedenaście, C - dwanaście,
D - trzynaście, E - czternaście, F - piętnaście.
Zatem liczba 7D3, biorąc cyfry od końca, zawiera: 3 potęgi
160, D (13) potęg 161 oraz 7 potęg
162. Łącznie mamy więc: 3.160
+ 13.161 + 7.162
= 3.1 + 13.16 + 7.256 = 3
+ 208 + 1792 = 2003. To samo można wykonać prościej,
biorąc cyfry od początku: (7.16+13).16+3
= 2003.
Zadanie 2.
Przedstaw za pomocą programu "Systemy liczbowe" rok swojego urodzenia w systemie dwójkowym, ósemkowym i szesnastkowym, a następnie, wykonując odpowiednie obliczenia, przekształć każdą postać z powrotem do postaci dziesiętnej.