Wielomiany - schemat Hornera - twierdzenie Bézout

Na lekcji nauczysz się obliczać wartości wielomianu metodą Hornera oraz wykonywać dzielenie wielomianów przez dwumian x - a. Poznasz również twierdzenie Bézout.

Wpisz do okienek edycyjnych współczynniki: 3, -2, -5, -6, 1, 3 i naciśnij "Rysuj".

Otrzymałeś wielomian piątego stopnia: w(x) = 3x⁵ - 2x⁴ - 5x³ - 6x² + x +3 oraz wykres tego wielomianu.

Wpisz argument 2 do okienka oznaczonego "w(  )=" i naciśnij "Oblicz".

Otrzymałeś wielomian przekształcony do postaci Hornera oraz wartość wielomianu równą 5. Na wykresie zaznaczony został argument 2 i wartość 5.
Postać Hornera powstaje przez wyciągnięcie za nawias zmiennej x ze wszystkich wyrażeń, które ją zawierają, następnie w nawiasie znów następuje takie wyciągnięcie zmiennej x, itd.
Mając taką postać, bardzo łatwo obliczyć wartość wielomianu, wykonując następujące działania:
3^.2-2 => 4^.2-5 => 3^.2-6 =>0^.2+1 => 1^.2+3 => 5. 

Naciśnij dolny przycisk "Rysuj".

Otrzymałeś wiersz współczynników 3, 4, 3, 0, 1 oraz resztę 5.  Są to współczynniki ilorazu wielomianu w(x) przez dwumian x - 2. Iloraz ten ma postać: 3x⁴ +4x³ +3x² +0x +1. Został on wraz z dwumianem x - 2 dorysowany na wykresie. Sprawdź, czy iloraz i reszta są prawidłowe.

Można wykonać pisemne dzielenie, ale łatwiej sprawdzić przez mnożenie i dodanie reszty:
(3x⁴ +4x³ +3x² +1)^.(x -2) + 5 = 3x⁵ - 6x⁴ + 4x⁴ - 8x³ +3x³ - 6x² + x - 2 + 5 = 3x⁵ - 2x⁴ - 5x³ - 6x² + x + 3.

Zatem wynik jest prawidłowy. Można więc otrzymać iloraz wielomianu przez dwumian x - a bez wykonywania dzielenia! Jest to wielkie ułatwienie obliczeń. Wystarczy obliczać wartość wielomianu dla x = a  i  wyniki pośrednie brać jako współczynniki ilorazu. Reszta jest wartością wielomianu. W tym właśnie tkwi wielka zaleta sposobu Hornera: nie tylko obliczenia wartości wielomianu są prostsze, ale w dodatku kolejno otrzymywane liczby są współczynnikami ilorazu.

Zadanie 1.
Oblicz iloraz wielomianu 3x⁵ - 2x⁴ - 5x³ - 6x² + x + 3  przez dwumian x - 3.

Zadanie 2.
Wykonaj inne przykłady dzielenia wielomianów przez dwumiany x - a. Wyniki sprawdzaj za pomocą programu.

Twierdzenie Bézout

Wyznaczając iloraz wielomianu przez dwumian x - a, natknąłeś się na pewno na taki przypadek, w którym reszta wyszła zero. Zajmiemy się nim teraz.

Wpisz do okienek edycyjnych współczynniki: 1, -5, -5, 25, 4, -20 i naciśnij "Rysuj".

Otrzymałeś wielomian piątego stopnia: w(x) = x⁵-5x⁴-5x+25x²+4x-20 oraz wykres tego wielomianu.

Wpisz argument 5 do okienka oznaczonego "w(  )=" i naciśnij "Oblicz".

Otrzymałeś wartość wielomianu równą 0. Oznacza to, że liczba 5 jest pierwiastkiem wielomianu w(x) = x⁵-5x⁴-5x³+25x²+4x-20.

Naciśnij dolny przycisk "Rysuj".

Otrzymałeś iloraz x⁴ - 5x² +4 i resztę 0. Oznacza to, że wielomian x⁵-5x⁴-5x³+25x²+4x-20 podzielił się bez reszty przez dwumian x - 5.

Zadanie 3.
Znajdź inne pierwiastki wielomianu w(x) = x⁵-5x⁴-5x³+25x²+4x-20 i sprawdź, czy wielomian ten dzieli się bez reszty przez odpowiedni dwumian.

Zadanie 4.
Znajdź pierwiastki podanych niżej wielomianów i sprawdź, czy dzielą się one bez reszty przez odpowiednie dwumiany. Sformułuj wniosek.
a) x⁵-2x⁴-13x³+14x²+24x;
b) -x⁵-x⁴+9x³+13x²-8x-12;
c) 2x⁵+x⁴-7x³-5x²-4x+4;
d) -x⁵+2x⁴-x³+8x²-16x+8;
e) x⁵+3x⁴-x³-3x²+x+3;
f) x⁵-1;
g) x⁴-2x³-x²+2x;
h) -x⁴+5x²-4;
i) -x⁴-2x³+x²+2x;
j) x⁴-x³-7x²+13x-6;
k) x⁴+3x³-3x²+3x-4;
l) -x⁴+3x³;
m) x⁴-3x²-4;
n) x⁴-4x³+6x²-4x+1;
o) x³+2x²-3x;
p) -x³+2x²+5x-6;
r) x³-2x²-3x;
s) -x³-3x²+x+3;
t) x³-x²-8x+12;
u) x²-3x-4;
w) -x²-2x+3;
x) -x²-3x;
y) x²-2x;
z) -x²+4x-4.

Odpowiedzi

Zadanie 1. Obliczamy:
3^.3-2 => 7^.3-5 => 16^.3-6 =>42^.3+1 => 127^.3+3 => 384. 
Iloraz: 3x⁴ + 7x³ + 16x² + 42x +3 reszta 384.

Zadanie 3. Pierwiastkami są -2, -1, 1, 2 i wielomian dzieli się bez reszty przez dwumiany: x+2, x+1, x-1, x-2.

Zadanie 4. a) pierwiastki:-3, -1, 0, 2, 4; odpowiednie dwumiany: x+3, x+1, x, x-2, x-4; w dalszych odpowiedziach podajemy tylko pierwiastki, dwumiany łatwo dopasować do tych pierwiastków; b) -2, -1, 1, 3; c) -2, 2; d) 1, 2; e) -3; f) 1; g) -1, 0, 1, 2; h) -2, -1, 1, 2; i) -2, -1, 0, 1; j) -3, 1, 2; k) -4, 1; l) 0, 3; m) -2, 2; n) 1; o) -3, 0, 1; p) -2, 1, 3; r) -1, 0, 3 ; s) -3, -1, 1; t) -3, 2; u) -1, 4; w) -3, 1; x) -3, 0; y) 0, 2; z) 2.
Wniosek: Jeśli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu w(x), to wielomian ten dzieli się bez reszty przez dwumian x - a.  Jest to twierdzenie Bézout.