Rozpad promieniotwórczy pierwiastków

Na lekcji zapoznasz się z zastosowaniem ciągu geometrycznego do badania rozpadu promieniotwórczego pierwiastków.

Brązowy obszar w kształcie prostokąta symbolizuje materiał złożony z N atomów jakiegoś pierwiastka promieniotwórczego. Atomy tego pierwiastka samorzutnie rozpadają się, emitując z jądra cząsteczki a i b oraz promienie g i przekształcają się w atomy innego pierwiastka.

Naciśnij "Pokaz płynny".

Program pokazuje, jak atomy rozpadają się (znikają z brązowego prostokąta). Każda biała plamka w kształcie kwadracika, to jeden rozpadający się atom.
Czas, w którym połowa atomów ulegnie przemianie, nazywamy okresem połowicznego rozpadu.

Uruchom program dla innych okresów połowicznego rozpadu. Wpisuj do programu różne okresy, np. 1 sekunda, 5 sekund, 10 sekund i uruchamiaj "Pokaz płynny" lub "Pokaz krok po kroku" (w tym drugim przypadku musisz ciągle naciskać ten przycisk). W czasie pokazu obserwuj, jak długo trwa pokaz, jaka jest szybkość rozpadu i jaki kształt przyjmuje wykres.

Dla okresu połowicznego rozpadu równego 1 sekundzie pokaz trwa 6 sekund, dla 5 sekund odpowiednio 5^.6 = 30 sekund, dla 10 sekund 10^.6 = 60 sekund, czyli 1 minutę. Nie należy z tego wyciągać wniosku, że rozpad się kończy wraz z końcem pokazu. Trwa on nadal, tylko w programie przyjęto 6 pierwszych cykli rozpadu. Na ich podstawie można już wyciągnąć wnioski matematyczne. Szybkość rozpadu jest określona okresem połowicznego rozpadu. Gdy okres jest długi, rozpad jest powolny, gdy okres jest krótki, rozpad jest szybki. Jeśli wpiszesz okres połowicznego rozpadu 1 godzinę, czyli 3600 sekund, to cały pokaz będzie trwał 6 godzin (możesz oczywiście przerwać pokaz, naciskając "Czyść"). Są pierwiastki, dla których okres połowicznego rozpadu wynosi kilka tysięcy lat, a są też takie, w których okres ten wynosi milionową część sekundy. W programie najmniejszy okres, jaki można wpisać, to 1 sekunda. Wykres powstający w czasie trwania rozpadu, przedstawia zależność liczby atomów, które nie uległy jeszcze rozpadowi, od czasu trwania rozpadu.

Czy potrafisz opisać za pomocą jakiegoś wzoru przebieg zjawiska promieniotwórczego rozpadu?

Przyjmijmy, że wartość początkowa liczby atomów wynosi N, zaś okres połowicznego rozpadu to 10 sekund. Po upływie pierwszych 10 sekund połowa atomów ulega rozpadowi i pozostaje ich . Po upływie kolejnych 10 sekund połowa z atomów znów uległa rozpadowi, więc pozostaje ich , po następnych 10 sekundach jest ich . Mamy więc ciąg: , , , itd. Łatwo zauważyć zależność: każdy kolejny wyraz powstaje z poprzedniego przez pomnożenie przez . Można też powiedzieć odwrotnie: iloraz każdego wyrazu do wyrazu poprzedniego jest stały i wynosi . Jest to więc ciąg geometryczny o wyrazie pierwszym i ilorazie q = . Wzór na ogólny wyraz takiego ciągu ma zatem postać: a_n = a₁^.q^n-1 =  = , gdzie n oznacza liczbę cykli.

Uruchom teraz program dla innych wartości okresu połowicznego rozpadu i obserwuj, po jakim czasie pozostaje liczby atomów, liczby atomów, itd.

Dla okresu połowicznego rozpadu równego 1 sekunda, po jednej sekundzie pozostaje atomów, po dwóch sekundach pozostaje atomów, itd. Analogicznie dla okresu połowicznego rozpadu równego 5 sekund; po pięciu sekundach pozostaje atomów, po dziesięciu sekundach pozostaje atomów, itd. Dla okresu połowicznego rozpadu równego 60 sekund, po jednej minucie pozostaje atomów, po dwóch minutach pozostaje atomów, itd.

Zadanie 1.
Brązowy prostokąt, symbolizujący pierwiastek promieniotwórczy, zawiera 2048 brązowych kwadracików - atomów. Przyjmując, że okres połowicznego rozpadu wynosi 25 sekund, określ, po ilu sekundach pozostanie około 30 atomów tego pierwiastka?

Zadanie 2.
Mamy 5 gramów pewnego pierwiastka promieniotwórczego, którego okres połowicznego rozpadu  wynosi 6 sekund. Oszacuj, ile gramów tego pierwiastka pozostanie po upływie:
a) 3 sekund; b) 30 sekund?

Zadanie 3.
Jak długo trwał rozpad pewnego pierwiastka, którego okres połowicznego rozpadu wynosi 1000 lat, jeżeli z 10 g tego pierwiastka pozostało 0,3125 g?

Odpowiedzi

Zadanie 1. I sposób: Wpisujemy do programu okres połowicznego rozpadu równy 25 sekund i uruchamiamy "Pokaz płynny". Na początku jest 2048 atomów. Po upływie pierwszych 25 sekund pozostaje 1024 atomów, po upływie kolejnych okresów dwudziestopięciosekundowych pozostaje odpowiednio: 512, 256, 128, 64, 32 atomów. Gdy pokaz skończy się, policz atomy (brązowe kwadraciki) i sprawdź, czy rzeczywiście pozostało ich 32. Łączny czas rozpadu wynosi więc 6^.25 = 150 sekund.
II sposób: Korzystając ze wzoru a_n = , otrzymujemy równanie: 30. Stąd po prostych podstawieniach otrzymujemy n 6. Ponieważ argument n oznacza liczbę cykli po czasie 25 sekund, zatem po upływie 6^.25 = 150 sekund pozostaną = 32 atomy.

Zadanie 2. a)  Sporządzając za pomocą programu wykres rozpadu, dla okresu połowicznego rozpadu 6 sekund, odczytujemy, że dla t = 3  liczba atomów, które nie rozpadły się, wynosi około 70% wszystkich atomów, czyli jest to około 3,5 grama - rysunek poniżej.

Korzystając zaś ze wzoru , otrzymujemy 3,53 grama. Czy wiesz, dlaczego za N podstawiono 5, a za n ? Otóż, N oznacza liczbę atomów, ale jest to równoznaczne z ich masą, zaś n liczbę cykli po 6 sekund, zatem 3 sekundy to cyklu.
b) 30 sekund to 5 pełnych cykli po 6 sekund, zatem z 5 gramów otrzymujemy kolejno: 2,5, 1,25, 0,625, 0,3125, 0,15625 gramów pierwiastka. Oblicz to samo ze wzoru.

Zadanie 3. Korzystając ze wzoru a_n = , otrzymujemy równanie: 0,3125 = . Po prostych podstawieniach dostajemy n = 5. Zatem rozpad trwał 5 cykli po 1000 lat, czyli 5000 lat.