Lokaty (oszczędności)

Na lekcji nauczysz się planować lokaty i oszczędności oraz obliczać od nich odsetki i określać salda.

Systematyczne oszczędzanie

Załóżmy, że 1 września założyłeś rachunek oszczędnościowo-rozliczeniowy (ROR), wpłacając 500 zł jako kwotę początkową. Chcąc zaoszczędzić pewną kwotę pieniędzy na przyszłe wakacje, postanowiłeś, że co  miesiąc, od października do czerwca, będziesz odkładał na konto 300 zł. Jaki kapitał będziesz miał 1 lipca, jeśli oprocentowanie ROR wynosi 2%, a kapitalizacja następuje co miesiąc?

Wpisz do okienka "Wpłata początkowa" kwotę 500, do okienka "Wpłata stała" kwotę 300, do okienka "Oprocentowanie" liczbę 2, do okienka "Liczba miesięcy" liczbę 10 oraz do okienka "Liczba kapitalizacji" liczbę 10 i naciśnij "Oblicz".  

Otrzymałeś plan oszczędzania, czyli miesięczne zestawienie wpłat, odsetek i sald. W kolumnie odsetek, oprócz  kwoty odsetek, podano obliczenia, które prowadzą do tych kwot. Czy rozumiesz wszystkie wielkości podane w kolejnych wierszach?

Pierwszy wiersz na pewno nie stwarza trudności. Liczba 0,1667%, przez którą mnożymy wpłatę 500 zł, to miesięczna skala procentowa otrzymana z dzielenia , gdzie 2% to oprocentowanie w skali roku, a 12 to liczba miesięcy w roku (zwracamy uwagę na to, że wprawdzie okres oszczędzania wynosi 10 miesięcy, ale obliczając miesięczną skalę procentową, dzielimy roczną skalę procentową zawsze przez 12). Mnożenie 500*0,1667% daje wynik 0,83. Sprawdźmy to: 500*0,1667 = 83,35 i trzeba jeszcze wynik podzielić przez 100%. Otrzymujemy 0,8335, a to z kolei zaokrąglamy do 0,83.
Po obliczeniu odsetek dokonywana jest tzw. kapitalizacja odsetek, czyli dopisywanie ich do stanu konta. Otrzymujemy saldo: 500 zł + 0,83 zł  = 500,83 zł. Jest to kapitał, jaki zostaje zaksięgowany na koncie ostatniego dnia września.

Drugi wiersz jest decydujący w zrozumieniu sposobu obliczania odsetek i określania wysokości salda, wszystkie pozostałe wiersze tworzy się tak samo. Na początku października wpłacasz kwotę 300 zł i przez cały miesiąc stan konta wynosi 800,83 zł. Ostatniego dnia października obliczane są odsetki: 800,83 * 0,1667% = 1,33 zł, co po ich kapitalizacji daje saldo w wysokości: 800,83 zł + 1,33 zł = 802,17 zł (z dodawania 800,83 + 1,33 powinieneś otrzymać 802,16 - różnica 1 grosza bierze się z zaokrągleń, o których wspomniano wyżej).

Wszystkie dalsze wiersze powstają w analogiczny sposób. W efekcie, po dziesięciu miesiącach oszczędzania stan konta wynosi 3231 zł. Kwota 31 zł odsetek, jakie doliczył bank, nie jest duża, ponieważ stopa procentowa uzależniona jest od inflacji (a ta w Polsce w roku 2002 była niska).

Zadanie 1.
Ułóż inne plany oszczędzania, przyjmując realistyczne kwoty początkowe oraz wielkości comiesięcznych wpłat.

Procent składany

Przeanalizujmy teraz taki sposób oszczędzania, w którym wpłacona kwota nie jest zasilana comiesięcznymi wpłatami, lecz zwiększa się wskutek comiesięcznej kapitalizacji odsetek. Taki sposób naliczania odsetek nazywamy procentem składanym.

Załóżmy, że masz na koncie ROR, kapitalizowanym co miesiąc, kwotę 3200 zł i nie dokonujesz żadnych wpłat ani wypłat z tego konta. Do jakiej kwoty wzrośnie kapitał, jeżeli oprocentowanie wynosi 3% w skali roku?

Wpisz do okienka "Wpłata początkowa" kwotę 3200, do okienka "Wpłata stała" kwotę 0, do okienka "Oprocentowanie" liczbę 3, do okienka "Liczba miesięcy" liczbę 10, do okienka "Liczba kapitalizacji" liczbę 10 i naciśnij "Oblicz".  

Saldo końcowe wynosi 3280,90 zł, zaś suma odsetek wynosi 80,90 zł.

Czy istnieje wzór, według którego można obliczyć saldo końcowe i sumę odsetek bez konieczności obliczania comiesięcznych odsetek i sald?

Wystarczy zauważyć, że jeśli kwota lokaty wynosi K, a stopa procentowa za jeden okres kapitalizacji wynosi p%, to po pierwszym okresie kapitalizacji (w tym przypadku po pierwszym miesiącu) nasz kapitał wzrasta o , czyli mamy kwotę: K+ = K(1+). Po drugim okresie kwota K(1+) daje nam odsetki w wysokości (1+), czyli mamy w sumie kwotę K(1+)+(1+) = K(1+)².  
Ogólnie, po n okresach oszczędzania kapitał wynosi .
W naszym przypadku okresem kapitalizacji jest jeden miesiąc, zatem stopa procentowa wynosi 8/12%, a stąd saldo końcowe jest równe: 3200^.(1+3/12/100)¹⁰ = 3280,90 zł. Suma odsetek wynosi 80,90 zł.

Zadanie 2.
Założyłeś lokatę 1000 zł z oprocentowaniem rocznym 10% i kapitalizacją miesięczną. Jaki będziesz miał kapitał po 2 latach? Oblicz to za pomocą wzoru, a wynik sprawdź, korzystając z programu.

Lokata terminowa

Inną formą oszczędzania jest lokata terminowa. Załóżmy, że ulokowałeś na 10 miesięcy kwotę 3200 zł. Oprocentowanie wynosi 5% w skali rocznej, a kapitalizacja następuje raz, po upływie zadeklarowanego okresu. Jaką kwotę otrzymasz po tym czasie?

Wpisz do okienka "Wpłata początkowa" kwotę 3200, do okienka "Wpłata stała" kwotę 0, do okienka "Oprocentowanie" liczbę 5, do okienka "Liczba miesięcy" liczbę 10, do okienka "Liczba kapitalizacji" liczbę 1 i naciśnij "Oblicz".  

Odsetki wynoszą 133,33 zł. W sytuacji opisanej przy omawianiu procentu składanego, gdy ta sama kwota 3200 zł była wpłacona na konto ROR i kapitalizowana co miesiąc, suma odsetek wyniosła 80,90 zł. Tak jest też w praktyce. Oprocentowanie jest tak ustalane przez banki, aby lokaty terminowe były bardziej opłacalne dla klienta. Bank gotów jest płacić wyższe odsetki, ponieważ ma większą pewność, że kapitał nie zostanie wycofany przed upływem zadeklarowanego terminu i w tym czasie może go zainwestować lub zaoferować innym klientom jako kredyt.
Czy wiesz, skąd wzięła się liczba 4,1665%, przez którą została pomnożona kwota 3200 zł?

Otóż, okres lokaty wynosi 10 miesięcy, zaś miesięczna stopa procentowa wynosi , zatem 10^. 4,1665%.

Korzystając z tego przykładu, można podać wzór, według którego oblicza się odsetki dla lokaty terminowej. Wystarczy zauważyć, że kapitalizacja następuje tylko jeden raz po upływie zadeklarowanego terminu. Zatem, jeśli kwota lokaty wynosi K, roczna stopa procentowa wynosi p%, zaś okres lokaty wynosi n miesięcy, to odsetki wynoszą ^.. W naszym przypadku otrzymujemy: 3200*4,1665% 133,33 zł.

Wykonaj obliczenia dla innych, interesujących Cię lokat terminowych.

Zadanie 3.
Złożyłeś 1 zł na dziesięcioletnią lokatę terminową z roczną stopą procentową 10%. Oszacuj lub oblicz w prosty sposób, bez stosowania wyżej podanych wzorów, jaką kwotę otrzymasz po tych 10 latach. Wynik sprawdź za pomocą programu.

Zadanie 4.
Złożyłeś 1 zł na 10 lat, na procent składany, ze stopą 10% w skali roku. Korzystając z wyniku poprzedniego zadania, oszacuj, jaką kwotę otrzymasz po tych 10 latach, jeżeli kapitalizacja następuje co:
a) 5 lat; b) 2 lata; c) rok; d) kwartał; e) miesiąc; f) dzień?
Sprawdź oszacowanie za pomocą programu (przykładu f nie można sprawdzić za pomocą programu, ponieważ 10 lat to 3650 dni, zaś największa liczba kapitalizacji, jaką można wpisać do programu to 120; obliczenia do tego przykładu podane są poniżej), a następnie oblicz dokładne kwoty za pomocą wzoru na procent składany: .

Odpowiedzi

2. 1220,39 zł.

3. 10 lat po 10% rocznie daje 100%, zatem z 1 zł otrzymasz 2 zł.

4. Jeśli Twoje oszacowania były zbliżone do wyników podawanych przez program, to gratulujemy dobrej intuicji matematycznej.
Aby wykonać dokładne obliczenia za pomocą wzoru , należy pamiętać, co oznaczają zmienne K, p, n, mianowicie: K - kapitał; p - oprocentowanie za jeden okres kapitalizacji; n - liczba kapitalizacji.
a) K = 1 zł; p = 50, ponieważ okres kapitalizacji to 5 lat, a każdy rok to 10%, więc 5^.10 = 50); n = 2 ponieważ w ciągu 10 lat są 2 kapitalizacje. Podstawiając powyższe dane do wzoru, otrzymujemy: 1^.(1+ )² = (1 + )² = 2,25 zł.
b) (1 + )⁵ = 2,49 zł;
c) (1 + )¹⁰ = 2,59 zł;
d) (1 + )⁴⁰ = 2,69 zł;
e) (1 + )¹²⁰ = 2,71 zł;
f)  (1 + )³⁶⁵ = 2,72 zł;
Zauważ jeszcze, że wyrażenia: (1 + )², (1 + )⁵, (1 + )¹⁰,   (1 + )⁴⁰,  (1 + )¹²⁰,  (1 + )³⁶⁵ są wyrazami ciągu (1 + )ⁿ, który wystąpił w zadaniu 1 h) w lekcji "Ciągi - ogólne własności".