Ciągi - ogólne własności

Korzystając z programu Ciągi, poznasz pojęcie ciągu oraz przykłady i ogólne własności wielu ciągów. Szczególne własności ciągów arytmetycznego, geometrycznego oraz ciągów rekurencyjnych poznasz na następnych lekcjach.

W tekście lekcji obok wzorów ciągów znajdziesz wzory zapisane w nawiasach klamrowych, np. {1/n} - jest to postać wzoru, jaką należy wpisać do programu.

Wpisz do programu ciąg {1/n} i naciśnij "Czyść" i "Rysuj".

Otrzymałeś wartości kolejnych wyrazów tego ciągu oraz  wykres złożony z dwudziestu punktów. Każdej liczbie naturalnej n przyporządkowana jest dokładnie jedna wartość, np. liczbie n = 1 przyporządkowana jest wartość 1; liczbie n = 2 wartość = 0,5, ogólnie dowolnej liczbie n wartość . W ciągach zmienna n oznacza liczbę naturalną, tak więc ciągi nie mają wartości pośrednich między kolejnymi wyrazami, np. nie ma wartości pomiędzy pierwszym i drugim wyrazem, i punkty wykresu nie tworzą linii ciągłej. Ciągi są funkcjami, ponieważ każdemu argumentowi odpowiada dokładnie jedna wartość, ale dziedziną jest zbiór dodatnich liczb naturalnych.

Jeśli chcesz zobaczyć wartości dalszych wyrazów ciągu, zmień punkt startowy w okienku oznaczonym "Start: n =". Wpisz np. 21 i naciśnij "Rysuj", a otrzymasz wartości i wykres dla wyrazów od 21 do 40. Możesz wpisać nawet "duże" wartości, np. milion lub sto milionów (największa liczba jaką możesz wpisać, to 999999999; jeśli pojawi się komunikat: "Trwają obliczenia ..." musisz na wyniki chwilę zaczekać, albo przerwać obliczenia, naciskając "Czyść").

Wpisuj teraz do programu różne wzory ciągów (możesz skorzystać z gotowych wzorów, kryjących się pod trójkącikami umieszczonymi na końcu okienka "a[n]=") i obserwuj następujące cechy charakterystyczne ciągów:
A) Czy każdej liczbie n wzór przyporządkowuje jakąś wartość ciągu?
B) Jaki kształt tworzą punkty wykresu?
C) Kiedy ciąg jest rosnący, a kiedy malejący?
D) Jaka jest największa, a jaka najmniejsza wartość ciągu?

Zajmiemy się teraz szczegółowo wyżej wymienionymi własnościami ciągów.

A) Czy każdej liczbie n wzór przyporządkowuje jakąś wartość ciągu?

To zależy od wzoru. W przypadku ciągów: {1/n}, {n/(n+2)}, n² {n^2}, 2ⁿ {2^n}, {int(10^(n-1)*sqrt(2))/10^(n-1)} można obliczyć wartość dla każdego n naturalnego; dziedziną tych ciągów jest zbiór N. Sprawdź to, sporządzając wykresy tych ciągów.
Dla ciągu {n/(n-2)} istnieją wartości, gdy n2. Zatem dziedziną jest N \ {2}. Wpisz ten ciąg do programu i zobacz, jaki otrzymasz wykres i co się będzie działo w punkcie 2.

Zadanie 1.
Określ dziedzinę ciągu i sporządź jego wykres.
a) {2/n}; b) 3n {3*n}; c) {3^n/(4-n)}; d)  {n^0.5}; e) {(3–n)/(2-5*n)}; f) {((1+sqrt(5))^n–(1-sqrt(5))^n)/(2^n*sqrt(5))}.

B) Jaki kształt tworzą punkty wykresu?

Sporządź jeszcze raz wykres ciągu . Punkty wykresu nie tworzą linii ciągłej, ale łatwo określić kształt krzywej, na której układają się wyrazy ciągu. Pamiętamy bowiem, że wykres funkcji ma kształt hiperboli, więc punkty wykresu będą leżeć na hiperboli. Zazwyczaj, znając wykres funkcji, wiemy również, jaki jest kształt wykresu odpowiedniego ciągu.

Zadanie 2.
Określ kształt krzywej, na której leżą wyrazy ciągu, a następnie sprawdź odpowiedź za pomocą programu.
a) n+2; b) 3-n; c) n² {n^2}; (n-3)² {(n-3)^2}; d) {5/n}.

C) Kiedy ciąg jest rosnący, a kiedy malejący?

Sporządź wykres ciągu {n/(n+2)}.
Widać, że każdy kolejny wyraz ciągu jest większy od poprzedniego. Zapisujemy to symbolicznie a_n+1 > a_n, a ciąg o takiej własności nazywamy ciągiem rosnącym. Wprawdzie na wykresie widzimy tylko dwadzieścia początkowych wyrazów, ale wzór jest na tyle prosty, że nie ma powodu, żeby dalej nie było tak samo. Możemy się o tym przekonać. Zmieniaj punkt startowy na coraz większe wartości i zobacz, że ciąg jest cały czas rosnący. Pamiętaj jednak, że wykres jest tylko narzędziem  pomocniczym, a wyniki odczytane z wykresu muszą być sprawdzone w inny sposób.

Określanie monotoniczności bez pomocy wykresu nie jest takie proste. Tutaj nie będziemy zajmować się żmudnymi obliczeniami, ale odpowiednie wnioski możemy wyciągnąć z analizy wzoru. Ciąg składa się z ułamków postaci: , , . Ułamki te mają mianownik o 2 większy od licznika. Dla kolejnych wyrazów ciągu ilorazy te są coraz większe, np. >, >, a również > . Zatem jest to ciąg rosnący.

Przeanalizujemy teraz ciąg 3-2n {3-2*n} (sporządź wykres).  
Jest to ciąg malejący. Każdy kolejny wyraz ciągu jest mniejszy od poprzedniego - zapisujemy to symbolicznie a_n+1 < a_n. To, że jest to ciąg malejący możemy też stwierdzić na podstawie własności funkcji liniowej y = 3 - 2x. Współczynnik kierunkowy tej funkcji wynosi -2, jest więc ujemny, zatem funkcja ta jest malejąca. Ponieważ wyrazy ciągu 3-2n  {3-2*n} i wartości funkcji 3 - 2x dla x N są tymi samymi liczbami, więc ciąg też jest malejący.

Zbadamy teraz ciąg 1 + (-1)ⁿ {1+(-1)^n} (sporządź wykres).
Pierwszy wyraz tego ciągu ma wartość 0, drugi wartość 2. Zatem drugi wyraz jest większy od pierwszego. Ale trzeci wyraz wynosi znów 0 i jest mniejszy od drugiego. Zatem ten ciąg nie jest ani rosnący, ani malejący.

Na zakończenie tej części lekcji zbadamy jeszcze ciąg 1 + (-1)²ⁿ {1+(-1)^(2*n)} (sporządź wykres).

Każdy wyraz tego ciągu ma wartość 2; jest to ciąg stały.

Zadanie 3.
Określ monotoniczność ciągu:
a) 2n - 3 {2*n-3}; b)  n² {n^2}; c) 2 + {2+1/n}; d)  (-1)ⁿ-1 {(-1)^n-1}; e) 1 + (-1)²ⁿ⁺¹ {1+(-1)^(2*n+1)}.

Zbadaj teraz dwa ciągi: jeden o wyrazach przeciwnych, a drugi o wyrazach odwrotnych do wyrazów ciągu {n/(n+2)}. Zanim sporządzisz ich wykresy, zastanów się, jaka będzie ich monotoniczność. Pamiętaj, że ciąg jest rosnący.

Ciąg o wyrazach przeciwnych do wyrazów ciągu ma postać - {-n/(n+2)} (sporządź jego wykres). Widać, że jest to ciąg malejący: każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego. Wniosek taki można wysnuć na podstawie analizy wzoru - spróbuj to zrobić.

Ciąg o wyrazach odwrotnych do wyrazów ciągu ma postać {(n+2)/n}. Z wykresu widać, że jest on również malejący.

Powyższe dwa wnioski, mówiące o tym, że ciąg o wyrazach przeciwnych i ciąg o wyrazach odwrotnych do wyrazów ciągu rosnącego jest ciągiem malejącym, są ogólnymi prawidłowościami. Analogiczna własność zachodzi dla ciągu malejącego.

Zadanie 4.
Zbadaj monotoniczność ciągu - {-(n+2)/n} (wyrazy tego ciągu, to ujemne odwrotności wyrazów rosnącego ciągu ).

D) Jaka jest największa, a jaka najmniejsza wartość ciągu?

Wpisz do programu ciąg {4/n} i sporządź jego wykres.
Łatwo zauważysz, że największa wartość wynosi 4, zaś najmniejszej wartości nie ma. Dla coraz większych argumentów wyrazy są coraz mniejsze.
Z wykresu można odczytywać największą i najmniejszą wartość ciągu, ale nigdy nie widzimy całego wykresu, więc odpowiedzi muszą być sprawdzone w inny sposób.   Np. dla ciągu n³-44n²+50 {n^3-44*n^2+50} na podstawie  wykresu (zrób ten wykres dla pierwszych dwudziestu wyrazów), można wyciągnąć wniosek, że największa wartość wynosi 7, a najmniejszej wartości nie ma. Jednak, oglądając dalsze wyrazy (wpisz punkt startowy n = 21), zauważamy, że ciąg nie jest cały czas malejący i począwszy od 30. wyrazu wartości zaczynają rosnąć, zaś najmniejsza wartość wynosi -12565.

Zadanie 5.
Znajdź największą i najmniejszą wartość ciągu {n^2/(20-n)}.

Odkrywanie zależności - ciekawe ciągi

Mając program obliczający wartości wyrazów, możemy wykorzystać go do wyznaczania wzoru ciągu, gdy dane są początkowe jego wyrazy. Weźmy ciąg: 1, 1, 1, ...  Zaproponuj wzór opisujący ten ciąg, wpisz go do programu i sprawdź, czy otrzymałeś podane wartości.
Jeśli masz problem, podpowiadamy: każdy wyraz zawiera jedną całość i ułamek . Czy już potrafisz określić wzór?
Wzór ma postać: 1+. Wpisz do programu ten wzór w postaci 1+1/(n+1) i sprawdź, że jest on prawdziwy.
Sprawdź jeszcze wzór {(n+2)/(n+1)} i uzasadnij algebraicznie, dlaczego jest on również prawdziwy.

A teraz czeka Cię dłuższa praca (zabawa) w dobieranie wzorów ciągów.

Zadanie 6.
Określ wzór ciągu:
a) 1, 3, 5, 7, 9, ...
b) 2, 3, 4, 5, 6, ...
c) 2, 4, 6, 8, 10, ...
d) 1, 1, 1, 1, 1, ...
e) 1, 4, 9, 16, 25, ...
f) 1, 2, 4, 8, 16, ...
g) 2, 1, 1, 1, 1, ...
h) , , , , , ...
i) , , , , , ...
j) 2, 0, 2, 0, 2, 0, ...
k) 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...
l) 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...
m) 1, 4, 10, 20, 35, 56, ...
n) 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, ...

Sumy wyrazów ciągów

Zauważyłeś, że program "Ciągi" wyświetla w pierwszym okienku wartości wyrazów ciągu, zaś w drugim okienku wartości jakiegoś innego ciągu, oznaczone symbolami s[1], s[2], s[3], itd. Chyba domyślasz się, że jest to ciąg sum wyrazów ciągu z pierwszego okienka. Wpisz ciąg 2n-1 {2*n-1} i zobacz, w jaki sposób tworzony jest ciąg sum.

Pierwszy wyraz wynosi 1, więc i suma tego wyrazu jest równa 1. Drugi wyraz wynosi 3, więc suma pierwszego i drugiego wyrazu wynosi 4. Dalej przeanalizuj wyniki samodzielnie i wyciągnij odpowiedni wniosek.

Wniosek jest bardzo ciekawy: suma początkowych liczb nieparzystych jest równa kwadratowi liczby dodawanych liczb. Np. suma dziesięciu liczb nieparzystych jest równa 10² = 100, suma dwudziestu liczb nieparzystych jest równa 20² = 400.

Zadanie 7.
Znajdź wzór na sumę liczb parzystych.

Zadanie 8.
Wyprowadź wzór na sumę n kolejnych, początkowych liczb naturalnych. Możesz wypróbować 3 sposoby:
1. Wykorzystać program Ciągi i wywnioskować wzór ogólny.
2. Wykorzystać któryś z wcześniej poznanych wzorów.
3. Przeprowadzić inne rozumowanie.

-------------------------------------------------------------

Ciekawą własność mają sumy sum liczb naturalnych oraz sumy sum sum liczb naturalnych. Weź jednakowe monety i układaj je zgodnie z poniższymi rysunkami.

Rys. 1. Liczby naturalne: 1, 2, 3, 4, ...; wzór ogólny a_n = n.

Rys. 2. Ciąg sum liczb naturalnych: 1, 3, 6, 10, ...; wzór ogólny a_n = {n*(n+1)/2} (sprawdź to za pomocą programu!). Są to tzw. liczby trójkątne.  Taką liczbę monet da się ułożyć w trójkąt.

Rys. 3. Ciąg sum liczb trójkątnych: 1, 4, 10, 20, ...; wzór ogólny a_n = {n(n+1)(n+2)/6} (sprawdź to!). Są to tzw. liczby piramidalne. Każdą z nich da się ułożyć w piramidę.

Zadanie 9.
Jaki będzie wynik kontynuacji powyższego procesu sumowania sum, tzn. jaki ciąg otrzymamy w wyniku sumowania liczb piramidalnych?

--------------------------------------------------------------------

Sumy niektórych ułamków również mają ciekawe interpretacje.

Zadanie 10.
Oblicz sumę 1000 wyrazów ciągu: , , , , ... oraz sumę 1000 wyrazów ciągu: -, -, -, -, ...   Następnie dodaj otrzymane sumy i sformułuj odpowiedni wniosek. Możesz sprawdzić ten wniosek dla miliona wyrazów, ale musisz poczekać około 10 minut na obliczenie sumy. Nie zaglądaj zbyt wcześnie do odpowiedzi, bo stracisz okazję na wielkie odkrycie!

Zadanie 11.
Z dwóch ciągów z poprzedniego zadania tworzymy jeden ciąg:  , -,  , -,  , -,   , -, ...  Napisz wzór tego ciągu i sprawdź sumy 1000 i 1000000 jego wyrazów.

Ciągi w arkuszu kalkulacyjnym

Obliczanie wartości wyrazów ciągu i sporządzanie wykresów można wykonywać również w arkuszu kalkulacyjnym. Oto przykład takiego arkusza dla ciągu . W komórce A2 wpisana jest formuła 1/A1, która została przekopiowana do pozostałych komórek drugiego wiersza.

Spróbuj wykonać podobne arkusze dla innych ciągów.

Programowanie ciągów w języku Pascal

Obliczanie wyrazów ciągu oraz sporządzanie wykresów można również wykonywać za pomocą prostego programu w języku Pascal.

program Ciagi_i_wykresy;
uses graph;
var karta,tryb,n:integer;
function a(n:longInt):real;
  begin
     a:=1/n
  end;
begin
   karta :=detect; initGraph(karta,tryb,' ' );
   line(100,0,100,340); line(80,170,639,170);
   for n:=1 to 20 do
   begin
      writeLn(a(n):1:7);
      fillEllipse(round(n*20+100),round(170-a(n)*20),2,2)
   end;
   readLn; closeGraph
end.

(Program ten i inne programy w języku Pascal znajdują się w katalogu "Programy-PASCAL").
Po uruchomieniu tego programu otrzymujemy wartości wyrazów oraz wykres ciągu :

Ciekawe rozważania można również prowadzić, programując zależności występujące w rodzinach ciągów.

Ciąg Collatza

Jest to ciąg liczb naturalnych wyznaczany według poniższej zasady:
Bierzemy dowolną liczbę naturalną. Jeśli jest ona parzysta, to dzielimy ją przez dwa, jeśli jest nieparzysta, mnożymy ją przez 3 i dodajemy 1. Dla otrzymanej liczby znów powtarzamy tę operację, aż do momentu, gdy otrzymamy 1.

Przykład.
Zaczynając od liczby 3, otrzymujemy ciąg: 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Zaczynając od liczby 15, otrzymujemy ciąg: 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
Oto program w Pascalu realizujący tę zasadę:

Program Ciag_Collatza;
uses crt;
var n:longInt;
begin
     clrScr;
     n:=3;
     repeat
          write(n,'  ');
          if n mod 2=0 then n:=n div 2
          else n:=3*n+1;
     until n=1;
     writeLn('1'); readLn;
end.

W wyniku działania tego programu otrzymujemy, dla różnych liczb startowych, następujące ciągi:

3 10 5 16 8 4 2 1
4 2 1
5 16 8 4 2 1
7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1
9 28 14 7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1
11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1
12 6 3 10 5 16 8 4 2 1
13 40 20 10 5 16 8 4 2 1
15 46 23 70 35 106 53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1

Zadanie 12.
Spróbuj uzasadnić, że w każdym ciągu Collatza zawsze w końcu otrzymamy liczbę 1.

153 - suma sześcianów cyfr liczb podzielnych przez 3

Zaczynając od dowolnej liczby naturalnej podzielnej przez 3 i tworząc ciąg, którego każdy następny wyraz jest sumą sześcianów cyfr poprzedniego wyrazu, zawsze otrzymamy liczbę 153. Np. zaczynając od liczby 3, otrzymujemy drugi wyraz: 3³ = 27. Podnosząc każdą cyfrę liczby 27 do potęgi trzeciej i dodając te potęgi, otrzymujemy trzeci wyraz: 2³+7³ = 351. Następny wyraz wynosi: 3³+5³+1³ = 153. Dalszych wyrazów nie obliczamy, ponieważ wszystkie wynoszą 153.

Oto zestawienie ciągów dla początkowych liczb startowych podzielnych przez 3:
3, 27, 351, 153
6, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 8637, 1098, 1242, 81, 513, 153
9, 729, 1080, 513, 153
12, 9, 729, 1080, 513, 153
15: 15, 126, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 8637, 1098, 1242, 81, 513, 153
18: 18, 513, 153
21: 21, 9, 729, 1080, 513, 153
24: 72, 351, 153
27: 27, 351, 153

Oto program w Pascalu realizujący tę własność:

Program Wlasnosc_153;
uses crt;
var x,n,w,bl:integer; xS,wStr:string;
begin
    clrScr; xS:='3'; write(xS,' ');
    repeat
         x:=0;
         for n:=1 to length(xS) do
         begin
             wStr:=xS[n]; val(wStr,w,bl); x:=x+w*w*w;
         end;
         write(x,' '); str(x,xS);
     until x=153;
     readLn;
end.

Zadanie 13.
Udowodnij, że zaczynając od dowolnej liczby podzielnej przez 3 i tworząc ciąg, którego każdy następny wyraz jest sumą sześcianów cyfr poprzedniego wyrazu, zawsze otrzymamy liczbę 153.

Projekt

Napisz odpowiednie programy komputerowe i za ich pomocą zbadaj inne ciągi, podobne do ciągów Collatza i ciągu "153".

Jeśli będziesz zajmował się jakimś ciągiem złożonym z liczb naturalnych i będziesz chciał poznać jego wzór i własności, to możesz skorzystać ze światowych zasobów informacji o ciągach, znajdujących się na stronie http://www.research.att.com/~njas/sequences/. Jest tam prawie wszystko o wszystkich ciągach znanych człowiekowi.

Odpowiedzi

1. We wszystkich przykładach oprócz przykładu c), dziedziną jest zbiór liczb naturalnych; w przykładzie c) dziedziną jest N\{4}.

2. a) Prosta; b) prosta; c) jedno ramię paraboli; c) parabola; d) hiperbola.

3. a) Rosnący; b) rosnący; c) malejący; d) nie jest monotoniczny; e) stały.

4. Jest to ciąg rosnący.

5. 361, -441.

6. a) 2n-1 {2*n-1}; b) n+1; c) 2n {2*n}; d) 2- {2-1/n}; e) n² {n^2}; f) 2^n-1 {2^(n-1)}; g) 1+ {1+1/n}; h) {(1+1/n)^n}; i) {n/(n+1)}; j) 1-(-1)ⁿ {1-(-1)^n}; k) {(1+(-1)^n)/2}; l) {n*(n+1)/2}; m) {n*(n+1)*(n+2)/6}; n) {n*(n+1)*(n+2)*(n+3)/24}.

7. n²+n {n^2+n}. Sprawdź to za pomocą programu! Czy potrafisz ten wzór uzasadnić?
Wiemy, że suma liczb nieparzystych wynosi n². Dodając do każdej liczby nieparzystej jedynkę, otrzymujemy ciąg liczb parzystych, a ponieważ tym sposobem dodaliśmy n jedynek, więc wzór ma postać n² + n.

8. Sposób 1. Wpisujemy do programu wzór na liczby naturalne, czyli samo n, i zauważamy, że np. suma pięciu wyrazów jest połową iloczynu piątego i szóstego wyrazu: 15 = . Analogicznie jest dla innych wartości, zatem wzór ma postać {n*(n+1)/2}.
Sposób 2. Aby otrzymać sumę n liczb naturalnych, należy dodać liczb parzystych i liczb nieparzystych. Korzystając ze wzorów na sumę liczb parzystych n²+n i ze wzoru na sumę liczb nieparzystych n², w których zamiast n wstawiamy , otrzymujemy: + +  = . Co ciekawe, jeśli nawet liczba nie jest całkowita, to wzór jest prawdziwy. Sprawdź to!
Sposób 3. Jeśli zauważyłeś, że sumę n wyrazów można obliczyć, dodając pierwszy i ostatni wyraz, dzieląc wynik przez 2 i mnożąc przez liczbę wyrazów, to możesz sobie pogratulować i porównać się do młodego Gaussa, który tak właśnie zrobił, mając 10 lat, a działo się to w XVIII wieku.

9. 1, 5, 15, 35, ...; wzór ogólny a_n = {n(n+1)(n+2)(n+3)/24} (sprawdź to za pomocą programu!). Jak nazwać te liczby i jak je układać - nie wiadomo. Jeśli masz na to pomysł, napisz do nas na adres KlubEureka@wszpwn.com.pl .

10. Ciąg: , , , , ... określony jest wzorem {4/(4*n-3)}, suma miliona wyrazów wynosi 18.04296384.
Ciąg: -, -, -, -, ... określony jest wzorem - {-4/(4*n-1)}, suma miliona wyrazów wynosi -14.9013716877.
Po dodaniu tych sum otrzymujemy liczbę 3.141592154, czyli liczbę p z dokładnością do 6 cyfr po przecinku.

11. {4*(-1)^(n+1)/(2*n-1)}.  S[1000] = 3.1405926538; S[1000000] = 3.1415916535.
Sumę wyrazów tego ciągu jako przybliżenie liczby p podał Leibniz w XVII wieku.

12. Niestety, nikomu jeszcze nie udało się tego udowodnić. Jest to przykład prostego problemu, sformułowanego na poziomie elementarnej matematyki, który bardzo trudno rozwiązać.

13. Ten problem, choć podobny do problemu Collatza, ma proste rozwiązanie. Wystarczy zauważyć, że dla wszystkich liczb n podzielnych przez 3 i większych od 9999, suma sześcianów cyfr jest mniejsza od n.  Zatem wystarczy sprawdzić tę własność dla wszystkich liczb mniejszych od 9999.