Ciąg geometryczny

Określenie ciągu geometrycznego

Przykładami ciągów geometrycznych są ciągi: 2ⁿ {2^n}, {1/3^n}, -10ⁿ {-10^n}. Charakteryzują się one pewną własnością, którą można dostrzec, sporządzając ich wykresy. Wpisz wzory tych ciągów do programu, obejrzyj ich wyrazy oraz wykresy i spróbuj odkryć tę własność.

Chyba zauważyłeś, że w każdym ciągu kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbą, a to oznacza również, że iloraz dowolnego wyrazu przez wyraz poprzedzający jest wielkością stałą. Np. dla ciągu {2^n} kolejne wyrazy mają wartość: 2, 4, 8, 16, ..., ilorazy zaś mają wartość: = 2, = 2, = 2. Ogólnie: = 2. Ciąg spełniający taką własność, tzn. mający stały iloraz,  nazywamy ciągiem geometrycznym. Dla ciągu {1/3^n} stały iloraz wynosi , zaś dla ciągu -10ⁿ {-10^n} stały iloraz wynosi 10. Są to również ciągi geometryczne. Wykresy tych ciągów leżą na krzywej zwanej krzywą wykładniczą. Nazwa bierze się stąd, że zmienna n występuje w wykładniku.

Sprawdź, czy "dalekie" wyrazy tych ciągów również mają stały iloraz. Wpisz w okienku oznaczonym "Start: n =" wartość argumentu n, np. 100 (nie można wpisywać zbyt dużych liczb, ponieważ przy potęgowaniu wyniki szybko rosną i przekroczą dopuszczalną w komputerze wartość) i oblicz iloraz każdego ciągu.

Również dla "dalekich" wyrazów ilorazy są stałe. Np. dla ciągu 2ⁿ {2^n} i punktu startowego n = 100 początkowe wyrazy wynoszą:
a[100]    = 1.2676506E30 (zapis z literą E oznacza zapis wykładniczy 1.2676506^.10³⁰),
a[101]    = 2.5353012E30,
a[102]    = 5.0706024E30.
Obliczając iloraz (wykorzystaj kalkulator systemowy Windows), otrzymujemy 2, jak również = 2.

Zadanie 1.
Wśród ciągów: n+1, 4^-n {4^(-n)}, {n/3}, 2^.3ⁿ {2*3^n}, {4/n}, 3n {3*n}, n² {n^2},  wskaż ciągi geometryczne i podaj ich iloraz.

Zadanie 2.
Czy ciągiem geometrycznym jest ciąg o wzorze: [n+3]-n {int(n+3)-n}? Symbol [  ] oznacza część całkowitą.

---

Wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego

Rozważmy ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym 3 i ilorazie 2, czyli ciąg 3, 6, 12, 24, ... Spróbuj ułożyć wzór zawierający liczbę 3 i liczbę 2 oraz zmienną n, za pomocą którego można obliczać wyrazy tego ciągu. Wzór wpisz do programu i sprawdź, czy otrzymałeś dany ciąg.

Ponieważ jest to ciąg geometryczny o ilorazie 2, więc jego kolejne wyrazy otrzymujemy, mnożąc ciągle przez 2. Zatem, aby obliczyć, np. czwarty wyraz należy pierwszy wyraz pomnożyć przez 2^.2^.2, czyli a₄ = 3^.2³ = 24. Analogicznie, aby obliczyć n-ty wyraz należy pierwszy wyraz pomnożyć przez 2^n-1. Mamy więc wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:

a_n = a₁^.q^n-1, gdzie q oznacza iloraz ciągu.

Dla ciągu 3, 6, 12, 24, ... otrzymujemy wzór: a_n = 3^.2^n-1. Sprawdź ten wzór za pomocą programu.

Zadanie 3.
Sprawdź, że ciągi: 2ⁿ {2^n}, {4/5^n}, 7^.3^-n {7*3^(-n)}, 6 są geometryczne i przedstaw je w postaci a_n = a₁^.q^n-1. 

Z rozwiązania zadania 3. wynika ważny wniosek. Mianowicie, jeśli ciąg ma postać k^.pⁿ, to jest to ciąg geometryczny, dla którego p jest ilorazem, zaś k*p jest pierwszym wyrazem. Sprawdź to jeszcze na przykładzie ciągu 3^.2ⁿ {3*2^n}.

Zadanie 4.
Dany jest ciąg o wzorze 2ⁿ {2^n}, czyli ciąg 2, 4, 8, 16, 32, ... Jaki wzór ma ciąg rozpoczynający się od trzeciego wyrazu tego ciągu, czyli ciąg: 8, 16, 32, ...?

Zadanie 5.
Dany jest ciąg o wzorze 3ⁿ {3^n}, czyli ciąg 3, 9, 27, 81, 243, .... Podaj wzór ciągu  81, 27, 9, 3, ... . Spróbuj sformułować ogólną zasadę układania wzoru ciągu "idącego w przeciwną stronę".

Zadanie 6.
Ciąg 2ⁿ {2^n} jest ciągiem geometrycznym. Czy ciąg 2ⁿ+1 {2^n+1} jest również ciągiem geometrycznym?

Zadanie 7.
Czy ciąg 2^.3ⁿ+5^.3ⁿ {2*3^n+5*3^n} jest ciągiem geometrycznym? Jeśli tak, to podaj jego prostszy wzór.

Zadanie 8.
Ciągi 2ⁿ {2^n} i 3ⁿ {3^n} są ciągami geometrycznymi. Który z ciągów: 2ⁿ+3ⁿ {2^n+3^n}, 2ⁿ-3ⁿ {2^n-3^n}, 2^n.3ⁿ {2^n*3^n}, {2^n/3^n} jest ciągiem geometrycznym? Dla ciągu, który jest ciągiem geometrycznym, podaj iloraz.

Zadanie 9.
W ciągu geometrycznym ^.3^n-1 {8/27*3^(n-1)} pierwszy wyraz wynosi 8/27, zaś piąty wyraz 24. Wyznacz ciąg geometryczny, w którym piąty wyraz ma również wartość 24, zaś pierwszy wynosi .

Pewna własność ciągu geometrycznego

Wpisz do programu ciąg 2ⁿ {2^n} i spójrz na trzy sąsiednie wyrazy, np. czwarty, piąty i szósty wyraz. Czy widzisz jakąś zależność? 

Środkowy wyraz jest średnią geometryczną dwóch sąsiednich wyrazów. Na przykład piąty wyraz, wynoszący 32, jest średnią geometryczną czwartego i szóstego wyrazu: = 32. Ten sam piąty wyraz jest również średnią geometryczną trzeciego i siódmego wyrazu: = 32, a także drugiego i ósmego wyrazu: = 32 oraz pierwszego i dziewiątego wyrazu: = 32.

Zadanie 10.
Sprawdź powyższą własność dla innych ciągów geometrycznych. Przykłady ciągów dobierz samodzielnie, pamiętając, że najprostsza postać ciągu geometrycznego, to k^.pⁿ {k*p^n}.

Zadanie 11.
Wyznacz 1003. wyraz ciągu geometrycznego, wiedząc, że 3. wyraz wynosi 5 zaś 2003. wyraz wynosi 555.

Monotoniczność ciągu geometrycznego

Ciąg geometryczny jest określony za pomocą wzoru: a_n = a₁^.q^n-1. Spróbujemy znaleźć takie warunki, jakie muszą spełniać liczby a₁ i q, aby ciąg był odpowiednio: a) rosnący; b) malejący; c) stały. Uzupełnij tabelkę:

Ciąg geometryczny jest rosnący, jeżeli pierwszy wyraz jest dodatni i iloraz jest większy od 1 lub pierwszy wyraz jest ujemny i iloraz jest dodatni, mniejszy od 1.
Ciąg geometryczny jest malejący, jeżeli pierwszy wyraz jest dodatni i iloraz jest dodatni, mniejszy od 1 lub pierwszy wyraz jest ujemny i iloraz jest większy od 1.
Jeśli iloraz jest zerem lub jedynką, to ciąg geometryczny jest stały.
Jeśli iloraz jest ujemny, to ciąg geometryczny nie jest monotoniczny (jest naprzemienny).

Zadanie 12.
Dla jakich wartości parametru k ciąg geometryczny 12^.2ⁿ-2^.k^.2ⁿ⁺¹ {12*2^n-2*k*2^(n+1)} jest malejący?

Suma wyrazów ciągu geometrycznego.

Rozpatrzmy ciąg geometryczny 2^n-1 {2^(n-1)} i utwórzmy sumę jego sześciu wyrazów: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32. Wpisz wzór tego ciągu do programu i popatrz uważnie na sumę s[6] oraz na wyrazy tego ciągu. Czy dostrzegasz jakąś prawidłowość?

Chyba zauważyłeś, że suma wynosi 63 i jest ona o jeden mniejsza od następnego, siódmego wyrazu wynoszącego 64. Zatem można napisać, że s[6] = a[7] - 1 = 2⁶ - 1 = 64 - 1 = 63. Dla sumy 15 wyrazów również zachodzi ta prawidłowość: s[15] = a[16] - 1 = 2¹⁵ - 1 = 32768 - 1 = 32767. Gdyby było tak dla wszystkich ciągów geometrycznych, to mielibyśmy bardzo prosty wzór na sumę ich wyrazów. Sprawdź to na przykładzie ciągu 3^n-1 {3^(n-1)}, obliczając sumę ośmiu wyrazów: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2187.
To nie jest już takie łatwe, ale można zauważyć, że s[8] = . Zatem  s[8] = = 3280.
Dla ciągu 5^n-1 {5^(n-1)} i sumy pięciu wyrazów 1 + 5 + 25 + 125 + 625, zachodzi równość: s[5] = = = (3125 - 1)/4 = 781.

Wniosek: Suma n wyrazów ciągu geometrycznego a_n = q^n-1 wynosi: 1 + q + q² + ... + q^n-1  = .

Sprawdź jeszcze prawdziwość tego wniosku dla ciągu {1/2^(n-1)} i sumy dziesięciu wyrazów: 1 + + + + ... + .

Otrzymujemy: s[10] =    = 1,998046875. Jest to prawidłowy i dokładny wynik.

Zatem wzór jest prawdziwy dla ciągów postaci q^n-1. Są to ciągi rozpoczynające się od liczby 1, ale przecież nie wszystkie ciągi geometryczne są takimi ciągami. Jak pamiętamy, wzór na wyraz ogólny dowolnego ciągu geometrycznego ma postać a₁q^n-1. Sumę S_n takiego ciągu możemy łatwo obliczyć w następujący sposób: S_n = a₁ + a₁q + a₁q² + ... + a₁q^n-1 = a₁(1 + q + q² + ... + q^n-1)   = a₁ .

Zadanie 13.
Oblicz sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego: a) 4^. {4*(3/2)^(n-1)}; b) 5^. {5*(4/3)^n}. Wynik sprawdź za pomocą programu.

Odpowiedzi

1. 4^-n - iloraz ; 2^.3ⁿ - iloraz 3.

2. Jest to ciąg stały, którego każdy wyraz wynosi 3. Iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest stały i wynosi 1, zatem jest to ciąg geometryczny.

3. Podajemy rozwiązanie dla ciągu {4/5^n}, pozostałe przykłady rozwiązuje się analogicznie.
Wyznaczamy wyrazy ciągu 4/5^n za pomocą programu i widzimy, że pierwszy wyraz wynosi , zaś iloraz jest stały i wynosi . Otrzymujemy więc postać a_n = a₁^.q^n-1  = {4/5/5^(n-1)}. Wpisując ten wzór do programu, otrzymujemy te same wartości wyrazów, co ze wzoru 4/5^n.

4. 2ⁿ⁺² {2^(n+2)}.

5. 3^5-n {3^(5-n)}.

6. Nie.

7. Tak, jest to ciąg geometryczny 7^.3ⁿ {7*3^n}.

8. 2^n.3ⁿ  {2^n*3^n} - ciąg geometryczny o ilorazie 6; {2^n/3^n} - ciąg geometryczny o ilorazie .

9. ^.2^n-1 {3/2*2^(n-1)}.

10. Dla każdego ciągu geometrycznego, dowolny wyraz a_n (oczywiście oprócz pierwszego i ostatniego) jest średnią geometryczną wyrazów a_n-k i a_n+k.

11. 280.

12. k > 3.

13. a) 52,75; b)  64,2798353909.