Ciąg arytmetyczny

---

Określenie ciągu arytmetycznego

Wśród ciągów liczbowych można wyróżnić ciągi arytmetyczne. Charakteryzują się one pewną własnością, którą można zauważyć na wykresie. Sporządź wykresy ciągów n, 2n-3 {2*n-3}, {n/2}, 4-n i odkryj tę własność.

Wartości wyrazów tych ciągów zmieniają się równomiernie, a punkty wykresów leżą na prostej. Np. dla ciągu 2n {2*n} wyrazy równomiernie zwiększają się o 2, czyli różnica między każdymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała i wynosi 2. Analogicznie jest dla pozostałych ciągów: kolejne wyrazy różnią się od siebie o tę samą wartość.

Wpisz do programu w okienku oznaczonym "Start: n =" dużą wartość argumentu n, np. milion, obejrzyj powyższe ciągi i sprawdź, czy podana własność jest zachowana.

Również dalekie wyrazy tych ciągów zmieniają wartości równomiernie, czyli kolejne wyrazy różnią się od siebie o tę samą, stałą wartość.

Ciąg arytmetyczny to taki, w którym różnica pomiędzy dowolnym wyrazem a wyrazem go poprzedzającym jest stała.

Zadanie 1.
Wśród ciągów: n+1, {n/3}, {4/n}, 3n {3*n}, n² {n*n} wskaż ciągi arytmetyczne i podaj ich różnicę.  

Zadanie 2.
Czy ciągiem arytmetycznym jest ciąg o wzorze: a_n = [n+3]-n {int(n+3)-n}? Symbol [  ] oznacza część całkowitą.

---

Wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego

Niech dany będzie ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie równym 7 i różnicy 2, czyli ciąg 7, 9, 11, 13, ... Spróbuj ułożyć wzór zawierający liczbę 7 i liczbę 2 oraz zmienną n, za pomocą którego można obliczać wyrazy tego ciągu. Ułożony wzór wpisz do programu i sprawdź, czy otrzymałeś dany ciąg.

Ponieważ jest to ciąg arytmetyczny o różnicy 2, więc jego wyrazy zwiększają się równomiernie o 2. Zatem, aby obliczyć, np. 4-ty wyraz należy do pierwszego wyrazu dodać 3 różnice równe 2, czyli a₄ = a₁ + 3r = 13. Analogicznie, aby obliczyć n-ty wyraz należy do pierwszego wyrazu dodać n - 1 różnic 2. Mamy więc wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:

a_n = a₁ + (n-1)r.

Dla ciągu 7, 9, 11, 13, ... otrzymujemy wzór: a_n = 7 + (n-1)*2. Sprawdź ten wzór za pomocą programu.

Zadanie 3.
Sprawdź, że ciągi: n, 2n-3 {2*n-3}, {n/2}, 4-n, n+1, {n/3}, 3n {3*n} są arytmetyczne i przedstaw je w postaci a_n = a₁ + (n-1)r: 

Z rozwiązania zadania 3. wynika ważny wniosek. Mianowicie, jeśli ciąg ma postać funkcji liniowej a^.n + b, to jest to ciąg arytmetyczny, dla którego współczynnik a jest różnicą ciągu, zaś a + b jest pierwszym wyrazem. Sprawdź to jeszcze na przykładzie ciągu 3*n + 2.

Zadanie 4.
Dany jest ciąg o wzorze 2n+5 {2*n+5}, czyli ciąg 7, 9, 11, 13, 15, ... Jaki wzór ma ciąg rozpoczynający się od trzeciego wyrazu tego ciągu, czyli ciąg: 11, 13, 15, ...?

Zadanie 5.
Dany jest ciąg o wzorze 3*n+1, czyli ciąg 4, 7, 10, 13, .... Podaj wzór ciągu: 13, 10, 7, 4, ... Zbadaj inne ciągi, których wyrazy następują w odwrotnej kolejności, niż wyrazy danego ciągu.

Zadanie 6.
W ciągu +n {4/3 + 2/3*n} pierwszy wyraz wynosi 2, zaś trzynasty wyraz 10. Wyznacz ciąg arytmetyczny, w którym trzynasty wyraz ma również wartość 10, zaś pierwszy wynosi 1.

Pewna własność ciągu arytmetycznego

Wpisz do programu ciąg 3n-2 {3*n-2} i spójrz na trzy sąsiednie wyrazy, np. na 4, 5 i 6 wyraz. Czy widzisz jakąś zależność? 

Każdy wyraz (oprócz pierwszego) jest średnią arytmetyczną dwóch sąsiednich wyrazów. Na przykład piąty wyraz, wynoszący 13, jest średnią arytmetyczną czwartego i szóstego wyrazu: = 13. Ten sam piąty wyraz jest również średnią arytmetyczną trzeciego i siódmego wyrazu: = 13, a także drugiego i ósmego wyrazu: = 13 oraz pierwszego i dziewiątego wyrazu: = 13.

Zadanie 7.
Sprawdź powyższą własność dla innych ciągów arytmetycznych. Przykłady ciągów dobierz samodzielnie, pamiętając, że ciąg arytmetyczny ma postać funkcji liniowej.

Zadanie 8.
Wyznacz 1003. wyraz ciągu arytmetycznego, wiedząc, że 3. wyraz wynosi 5, zaś 2003. wyraz 555.

Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Wiemy już, że ciąg arytmetyczny jest określony za pomocą wzoru: a₁ + (n-1)*r. Spróbujmy znaleźć takie warunki, jakie muszą spełniać liczby a₁ i r, aby ciąg był odpowiednio: a) rosnący; b) malejący; c) stały. Uzupełnij tabelkę:

Ciąg arytmetyczny jest rosnący, jeżeli różnica kolejnych wyrazów tego ciągu jest dodatnia, zaś malejący, jeżeli różnica jest ujemna. W przypadku, gdy różnica wynosi zero, ciąg arytmetyczny jest stały.

Zadanie 9.
Dla jakich wartości parametru k ciąg arytmetyczny 7*n+5-2*n*k jest rosnący?

Suma wyrazów ciągu arytmetycznego.

Rozważmy skończony ciąg arytmetyczny o 11 wyrazach: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35. Oblicz w pamięci sumę tych wyrazów. Zrób to koniecznie!

Otrzymałeś 220. A teraz zauważ, że 220 = 11*20, gdzie 11 to liczba wyrazów a 20 to środkowy wyraz, czyli średnia arytmetyczna pierwszego i ostatniego wyrazu: = 20. Czy zawsze tak będzie? Sprawdź to za pomocą programu dla innego ciągu, np. wpisz ciąg 9+7*n i wyznacz sumę 10 wyrazów.

Program pokazuje, że suma wynosi 475, zaś według powyższej zasady otrzymujemy:  10^. = 475, czyli tyle samo. Zasada potwierdza się i można wykazać, że jest to ogólna zasada. Zatem wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego ma postać:

Zadanie 10.
Oblicz sumę 25 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, wiedząc, że 13 wyraz tego ciągu wynosi 10. Wynik sprawdź za pomocą programu.

Wzór można przekształcić do innej postaci, podstawiając za a_n wyrażenie a₁ + (n-1)r. Otrzymujemy: S_n = na₁ + nr(n-1)/2. Sprawdź prawdziwość tego wzoru dla kilku dowolnych ciągów arytmetycznych.

Dla ciągu liczb naturalnych suma 1000 wyrazów obliczona z poprzedniego wzoru wynosi 500500. Ze wzoru S_n = na₁ + nr(n-1)/2 otrzymujemy również ten sam wynik. Sprawdź go za pomocą programu, wpisując: n + n*(n-1)/2.

Odpowiedzi

1. n+1 - różnica 1; - różnica ; 3n - różnica 3.

2. Jest to ciąg stały, którego każdy wyraz wynosi 3. Różnica między kolejnymi wyrazami jest stała i wynosi 0, zatem jest to ciąg arytmetyczny.

3. Podajemy rozwiązanie dla ciągu 2n-3 {2*n-3}, pozostałe przykłady rozwiązuje się analogicznie.
Wyświetlamy wyrazy ciągu za pomocą programu i widzimy, że pierwszy wyraz wynosi -1, zaś różnica jest stała i wynosi 2. Otrzymujemy więc postać a_n = -1 + (n-1)*2. Wpisując ten wzór do programu, otrzymujemy te same wartości wyrazów, co ze wzoru 2*n-3.

4. 2*(n+2)+5.

5. 3*(5-n)+1.

6. +n {1/4 + 3/4*n}.

7. Dla każdego ciągu arytmetycznego, dowolny wyraz a_n (oczywiście oprócz pierwszego) jest średnią arytmetyczną wyrazów a_n-k i a_n+k.

8. 280.

9. k < 3,5.

10. Trzynasty wyraz jest środkowym wyrazem wśród 25 wyrazów tego ciągu, zatem jest on średnią arytmetyczną pierwszego i ostatniego wyrazu. Stąd = 10^.25 = 250. Niestety, nie możemy tego wyniku sprawdzić za pomocą programu, ponieważ nie znamy wzoru ciągu. Co więcej, nie potrafimy wyznaczyć tego wzoru, gdyż znamy tylko jeden wyraz. Sytuacja nie jest jednak beznadziejna. Potrafiliśmy bowiem wyznaczyć sumę bez znajomości a₁ i r, zatem wnioskujemy, że dla każdego ciągu arytmetycznego, w którym trzynasty wyraz wynosi 10, suma 25 wyrazów wynosi 250. A to potrafimy sprawdzić. Oto dwa ciągi arytmetyczne, w których trzynasty wyraz wynosi 10: +n {4/3 + 2/3*n}, +n {1/4 + 3/4*n}. Sprawdź, czy rzeczywiście suma 25 wyrazów wynosi 250. Rozważ też inne ciągi i sprawdź ich sumę.