Ułamki okresowe

Program wykonuje algorytm dzielenia piśmiennego, np.

Najpierw dzieli 133 przez 74 i otrzymuje 1 całość. Po odjęciu od 133 iloczynu 1·74 otrzymuje resztę 59. Po dopisaniu do reszty zera, dzieli 590 przez 74 i otrzymuje iloraz 7 i resztę 72, itd. Kolejne reszty wynoszą 54 i 22. Po tych trzech dzieleniach pojawia sie znów reszta 72 i od tego miejsca reszty 72, 54, 22 będą się powtarzać, a więc i cyfry w ilorazie też będą się powtarzać. Zatem okresem są te cyfry ilorazu, które odpowiadają powtarzającym się resztom, czyli cyfry 972. Sprawdź to, wpisując licznik: 133 i mianownik: 74.

Weźmy ułamek 1/2. Jego rozwinięcie dziesiętne jest skończone i wynosi 0,5. W czasie dzielenia piśmiennego 1 przez 2 pierwsza reszta wynosi 1, a każda następna 0.
Ułamek 16/25 ma rozwinięcie dziesiętne skończone 0,64. Dzieląc 16 przez 25 otrzymujemy pierwszą resztę równa 16, drugą 10, a każdą następną 0. Dzielenia, w których od pewnego miejsca reszta wynosi 0, są skończone.

Rozkładając mianownik ułamka na czynniki pierwsze można zobaczyć, czy składa się z liczb, które zapewniają zakończenie procesu dzielenia. Takimi liczbami są oczywiście 2 i 5. Każde dzielenie przez 2 i 5 musi się skończyć, nawet, gdy dwójek i piątek jest dużo. Sprawdź to!

Jeśli w rozkładzie mianownika jest jakakolwiek liczba różna od 2 i 5 to dzielenie nigdy się nie skończy. Ponieważ jednak nie może być nieskończenie wiele różnych reszt, więc któraś się powtórzy i rozwinięcie będzie okresowe.

Spróbuj znaleźć ułamki zwykłe dla ułamków okresowych: 0,(1), 0,(2), 0,(3), 0,(4), 0,(5), 0,(6), 0,(7), 0,(8), 0,(9).

Otrzymałeś:

Ułamek 9/9 skraca się i otrzymujemy 1. Nie da się podać przykładu ułamka zwykłego w postaci nieskracalnej, aby otrzymać ułamek okresowy 0,(9). Zatem sposób jest dobry dla wszystkich okresów oprócz okresu 9. Wynika to z własności dzielenia liczby przez ostatnią liczbę pozycyjnego systemu liczenia. Można to zrozumieć, analizując dokładnie dzielenie piśmienne przez 9 lub 99, np. 23/99. Zrób to a zobaczysz, jakie będziesz otrzymywał reszty i dlaczego w ilorazie ciągle powtarzają się cyfry 2 i 3.

Zamieniając ułamki zwykłe: 5/12, 5,24, 5,48, 13/15, 13/75, 13/375, 43/56, 56/75, 123/127, 19/21, 234/375, 222/569, 149/208, 479/600, 927/13125 na ułamki okresowe, można zauważyć prawidłowość polegającą na tym, że liczba cyfr między przecinkiem a okresem zależy od dwójek i piątek w rozkładzie mianownika na czynniki pierwsze. Jeśli w rozkładzie są i dwójki i piątki to liczba cyfr między przecinkiem a okresem jest równa większej z liczb dwójek i piątek.

Sprawdź następujące przykłady:

Zastanów się jeszcze, dlaczego liczba cyfr między przecinkiem a okresem zależy tylko od dwójek i piątek?

Otóż, tylko dzielenie przez 2 lub przez 5 jest skończone. A jeśli jest skończone, to cyfry rozwinięcia dziesiętnego odpowiadające temu dzieleniu nie mogą się powtarzać i muszą stać przed okresem.

Wykonując dzielenie dwóch liczb, jeśli nie jest ono skończone, otrzymujemy reszty. Reszta nie może być oczywiście większa od dzielnika, zatem liczba różnych reszt, czyli liczba cyfr w okresie, musi być mniejsza od dzielnika. Dla ułamków o mianownikach: 17, 23, 29, 47, 59 liczba cyfr w okresie wynosi 16, 22, 28, 46, 58. Sprawdź to!

Tak. Następna taka liczba to 17. Każdy ułamek o mianowniku 17 ma w okresie te same cyfry: 0, 5, 8, 8, 2, 3, 5, 2, 9, 4, 1, 1, 7, 6, 4, 7. Cyfry występują w tej samej kolejności, z ewentualnym "zawinięciem". Sprawdź to!

Dalsze liczby tego typu to: 23, 29, 47, 59. Są to mianowniki ułamków zwykłych, których rozwinięcie okresowe ma maksymalnie długi okres, to znaczy jest o 1 krótszy od mianownika. Np. długość okresu ułamka o mianowniku 17 wynosi 16; długość okresu ułamka o mianowniku 23 wynosi 22. Sprawdź to!

Tak. Można oczywiście dzielić licznik przez mianownik i zobaczyć, kiedy powtórzy się reszta, ale nie o to chodzi. Sposób okazuje się prosty, jeśli przypomnimy sobie, jaka jest długość okresu dla ułamków o mianownikach 9, 99, 999, itd. Mianowicie, liczba dziewiątek jest długością okresu. Wystarczy więc dany ułamek rozszerzyć do ułamka o mianowniku złożonym z samych dziewiątek. Np. ułamek 7/11 rozszerzamy do ułamka 63/99 i stwierdzamy, że długość okresu wynosi 2. Sprawdź to!