Równanie okręgu

Zapoznasz się z równaniem i własnościami okręgu.

Rysunek przedstawia 10 okręgów o promieniach 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Narysuj takie okręgi (w czasie rysowania trzymaj wcisnięty klawisz "Ctrl", wówczas łatwo trafisz w punkt (0, 0) i inne punkty kratowe). Na okręgu o promieniu 1 leżą 4 punkty o współrzędnych całkowitych: (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1). Na okręgu o promieniu 2 również są 4 takie punkty: (2, 0), (0, 2), (-2, 0), (0, -2). Na którym okręgu leży więcej niż 4 punkty o współrzędnych całkowitych? Na którym jest ich najwięcej? Jak sprawdzać, czy dany punkt leży na okręgu?

Narysuj okrąg o środku (0, 0) i promieniu 5. Spójrz na punkt (4, 3). Wydaje się, że leży on na okręgu. Jak to sprawdzić?

Rozwiązanie.
Odległość punktu (4, 3) od środka okręgu wynosi 5, zatem korzystając ze wzoru na odległość dwóch punktów d = otrzymujemy: = 5, czyli 42 + 32 = 52. Lewa strona równa się prawej, zatem punkt (4, 3) leży na okręgu. Sprawdź inne punkty "podejrzane" o leżenie na okręgu.
Wniosek 1.

Okrąg o środku (0, 0) i promieniu r jest zbiorem punktów P = (x, y), spełniających warunek: x2 + y2 = r2. Warunek ten nazywamy równaniem okręgu.

Zadanie 1.

Napisz równanie i narysuj okrąg o środku (0, 0) i promieniu:

a) 6; b) 3,5; c) 3;
d) 4, gdzie to złota liczba równa ;
e) 4; f) ; g) .

Rozwiązanie.

a) x2 + y2 = 36; b) x2 + y2 = ; c) x2 + y2 = 45 — okrąg przechodzi przez punkt (6, 3);

d) x2 + y2 = 24 + 8 — zbudować 4 w oparciu o kwadrat o boku 4;

e) x2 + y2 = 48 f) x2 + y2 = ; g) x2 + y2 = .

Zadanie 2.

Narysuj okrąg o równaniu:

a) x2 + y2 = 49;
b) x2 + y2 = 50;
c) x2 + y2 = 75;
d) x2 + y2 = 85;
e) x2 + y2 = 6,25;
f) x2 + y2 = ;
g) x2 + y2 = .

Rozwiązanie.
a) r = 7; b) r = 2 — okrąg przechodzi przez punkt (7, 1); c) r = 5 8,7; d) r = — okrąg przechodzi przez punkt (9, 2); e) r = 2,5; f) r = 5; g) r = 8,5.
Zadanie 3.
Skonstruuj odcinki długości: 4, 4, 4, 4, 4.
Rozwiązanie.

Narysuj okrąg o środku (3, 2) i promieniu 5. Czy potrafisz napisać jego równanie?

Rozwiązanie.
Korzystamy ze wzoru na odległość dwóch punktów d = . Przyjmujemy, że punkt (x1, y1) jest środkiem okręgu (3, 2), zaś punkt (x2, y2) jest dowolnym punktem okręgu P = (x, y). Otrzymujemy równanie okręgu: (x-3)2 + (y-2)2 = 25. Sprawdź, że punkt (7, 5) leży na tym okręgu i spełnia to równanie. Sprawdź inne punkty tego okręgu o współrzędnych całkowitych.
Wniosek 2.

Równaniem okręgu o środku (a, b) i promieniu r jest: (x - a)2 + (y - b)2 = r2.

Zadanie 3.

Napisz równanie i narysuj okrąg o podanym środku S i promieniu r:

a) S = (-4, 1), r = 6;
b) S = (2, -1), r = 3;
c) S = (3, -4), r = 6;
d) S = (-2, -3), r = 4;

Rozwiązanie.
a) (x + 4)2 + (y - 1)2 = 36;
b) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 45;
c) (x - 3)2 + (y + 4)2 = 54 + 18;
d) (x + 2)2 + (y + 3)2 = 48.
Zadanie 4.

Narysuj okrąg o równaniu:

a) (x + 3)2 + (y - 4)2 = 25;
b) (x - 1)2 + (y + 3)2 = 18;
c) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 1 + ;
d) (x + 4)2 + (y + 2)2 = 27.

Rozwiązanie.
a) r = 5; b) r = 3; c) r = ; d) r = 3.

Równanie okręgu o środku S = (a, b) i promieniu r w postaci (x - a)2 + (y - b)2 = r2 można rozwinąć do postaci: x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = r2. Po uporządkowaniu i podstawieniu a2 + b2 - r2 = c otrzymujemy postać ogólną równania okręgu:

x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

Zadanie 5.

Narysuj okrąg o równaniu:

a) x2 + y2 + 4x - 6y - 3 = 0;
b) x2 + y2 - 6x - 41 = 0;
c) x2 + y2 - 8y + 15 - = 0;
d) x2 + y2 - 8x + 2y = 0;

Rozwiązanie.
a) (x + 2)2 + (y - 3)2 = 16;
b) (x - 3)2 + y2 = 50;
c) x2 + (y - 4)2 = 1 + ;
d) (x - 4)2 + (y + 1)2 = 17.
Zadanie 6.

Ile okręgów widzisz na rysunku, jakie są współrzędne ich środków i jakie promienie? (Rysunek wykonano za pomocą programu "Okręgi" a kolorowanie programem Foto Magic).

Rozwiązanie.
Na rysunku jest 7 okręgów, wszystkie o promieniu 4. Środek centralnego okręgu jest początkiem układu wspólrzędnych, zaś środki pozostałych są wierzchołakmi sześciokąta foremnego wpisanego w centralny okrąg.
Strona główna