x + 2 {-1/2*x+2}; 2y > 3x
- 6 {2*y>3*x-6}.Wzory nierówności można wpisywać w kilku postaciach, np. wzór y>2*x-5 można wpisać: -y<-2*x+5; y-2*x+5>0; 2*x-y-5<0; x<1/2*y+5; x-5<1/2*y. Sprawdź, że każda z tych nierówności ma ten sam wykres.
Na lekcji zapoznasz się z graficznymi rozwiązaniami nierówności i układów nierówności z dwiema zmiennymi.
Wpisz do okienka edycyjnego nierówność y > x, naciśnij "mono" a następnie "Rysuj".
Otrzymałeś półpłaszczyznę zawierającą wszystkie punkty powyżej prostej y = x. Rozwiązaniem tej nierówności jest więc zbiór par liczb (x, y), takich, że liczba y jest większa od liczby x. Na przykład, pary liczb: (1, 2), (-3, -2), (-1, 5) są rozwiązaniami tej nierówności.
Rozwiąż, za pomocą programu, podane niżej nierówności z dwiema zmiennymi. Staraj się wyobrazić, jeszcze przed narysowaniem wykresu, jego przybliżony kształt. Uzyskasz przez to większe efekty w uczeniu się.
Przykłady nierówności: y > x - 2; y >
-x + 3; y < 2x - 3 {y<2*x-3};
y < -x + 2 {-1/2*x+2}; 2y > 3x
- 6 {2*y>3*x-6}.
Wzory nierówności można wpisywać w
kilku postaciach, np. wzór y>2*x-5 można wpisać:
-y<-2*x+5; y-2*x+5>0;
2*x-y-5<0; x<1/2*y+5;
x-5<1/2*y. Sprawdź, że każda z tych nierówności ma ten sam
wykres.
W szczególnych przypadkach nierówność z dwiema zmiennymi może stać się nierównością z jedną zmienną lub nierównością bez żadnej zmiennej. Jest tak wtedy, gdy współczynniki przy zmiennych x lub y są równe zero. Na przykład, nierówność y > 0x + 2 przyjmuje postać y > 2, zaś nierówność 0y > 0x - 3 przyjmuje postać 0 > -3. Sprawdź, jakie rozwiązania mają nierówności z jedną zmienną, a jakie nierówności nie zawierające żadnej zmiennej, np. y > -3; x < 2; -3 < 2; -3 < -4.
Sprawdź, co jest rozwiązaniem alternatywy nierówności liniowych: y > 2x - 3 {y>2*x-3} lub y < x + 1. Wpisz najpierw wzór pierwszej nierówności i po otrzymaniu rozwiązania wpisz wzór drugiej nierówności. Rozwiązaniem są wszystkie punkty spełniające jedną lub drugą nierówność, czyli suma obu półpłaszczyzn.
Rozwiąż graficznie układ nierówności:
.
Wpisz najpierw wzór pierwszej nierówność i po otrzymaniu
rozwiązania wpisz wzór drugiej nierówności.
Rozwiązaniem są wszystkie punkty spełniające równocześnie obie nierówności, czyli część wspólna obu półpłaszczyzn.
Problem 1.
Jakie figury mogą być rozwiązaniami układów 2 nierówności liniowych?
Rozwiązanie.
Jest możliwych 5 rodzajów figur:
Kąt, np.
Półpłaszczyzna, np.
Płaszczyzna, np.
Pas, np.
Zbiór pusty, np..
Problem 2.
Jakie wielokąty mogą być rozwiązaniami układów 3 lub 4 nierówności liniowych?
Odp.
Trójkąty, np.
Czworokąty, np.
Określanie wzorów nierówności dla danych rozwiązań.
Półpłaszczyzna na poniższym rysunku jest rozwiązaniem pewnej nierówności liniowej. Jaka to nierówność?
Rozwiązanie składa się z punktów leżących powyżej prostej y = -0,5x + 1.
Zatem jest ona rozwiązaniem nierówności y > -0,5x + 1
{y>=0,5*x+1}. Sprawdź to!
Zadanie 1.
Określ wzory nierówności dla podanych rozwiązań:
a)
b)
Odp.
a) y < 0,5x - 1; b) x > 2.
Zadanie 2.
Określ układ nierówności dla podanych rozwiązań:
a)
b)
Odp.
a); b)
Rozwiąż graficznie nierówność y > |x| {y>abs(x)} i spróbuj
wyjaśnić, dlaczego otrzymałeś rozwiązanie takie, jak na poniższym
rysunku.
Wyjaśnienie.
Wartość bezwzględna określona jest następująco:
.
Określenie to oznacza alternatywę (tak, mimo, że wyrażenia są ujęte klamrą).
Zatem nierówność y > |x| można
zapisać w postaci alternatywy warunków: y > x, dla
x 
0 lub y >
-x, dla x < 0. Pierwszy człon tej alternatywy: y
> x, dla x 0, jest układem nierówności: 
,
którego wykresem jest zbiór punktów I ćwiartki układu współrzędnych powyżej
prostej y = x. Drugi człon tej alternatywy: y >
-x, dla x < 0, jest układem nierówności: 
,
którego rozwiązaniem jest zbiór punktów II ćwiartki układu współrzędnych powyżej
prostej y = -x. Oba rozwiązania tworzą podaną figurę
Zadanie 3.
Przeprowadzając rozumowania analogiczne do powyższego, określ
kształt rozwiązania podanych nierówności, a następnie sprawdź wynik za pomocą
programu.
a) y < |x|,
b) x > |y|,
c) x < |y|.
Zadanie 4.
Rozwiązaniem układu nierówności 
jest
pas. Opisz ten pas za pomocą jednej nierówności z wartością bezwzględną.
Odp.
|y+2x-2|<3.
Problem 2.
Znajdź ogólny sposób budowania nierówności z wartością bezwzględną, opisującej pas:
a) 
, gdzie b<c;
b) 
, gdzie b<c;
c) 
, gdzie b<c.
Rozwiązanie.
Jest to problem analogiczny do problemu opisywania przedziału liczbowego (b, c), gdzie b<c, za pomocą wartości bezwzględnej, którego rozwiązaniem jest:.
a)
b)
c)
Zadanie 5.
Kwadrat ABCD o wierzchołkach: A (-5, 0), B (0, 5), C
(5, 0), D (0, -5) można w prosty sposób opisać za pomocą układu 4 nierówności.
a) Opisz ten kwadrat za pomocą układu 2 nierówności z wartością bezwzględną.
b) Czy można opisać ten kwadrat jedną nierównością?
Odp.
a);
b) |x| + |y|<5.
Zadanie. 6
Opisz kwadrat ABCD o wierzchołkach: A (-5, 5), B (5, 5), C
(5, -5), D (-5, -5) trzema sposobami.
Rozwiązanie.
I sposób:;
II sposób:;
III sposób |x + y| + |x - y| < 10
Zadanie 7.
Podaj nierówność opisującą poniższe rozwiązania:
a)
b)
Odp.
a) |x + y| > 4; b) |x| + |y| > 4.
Za pomocą programu można otrzymywać ciekawe, kolorowe rozwiązania innych nierówności. Przykłady takich nierówności można uzyskać, klikając myszką na czarne trójkąciki umieszczone po prawej stronie okienka edycyjnego. Poniżej przedstawiono jedno z przykładowych rozwiązań. Zachęcamy do "tworzenia" własnych grafik i obrazów.
Projekt.
Zbadaj, jakie rodzaje figur można otrzymać jako rozwiązania jednej nierówności liniowej z wartością bezwzględną. Opisz sposoby otrzymywania trójkątów, kwadratów, rombów, równoległoboków, trapezów.
