Równoległość i prostopadłość prostych

Zapoznasz się z równoległością i prostopadłością prostych w postaci kierunkowej.

Jeśli chciałbyś powtórzyć materiał dotyczący współczynnika kierunkowego, zapoznaj się z lekcją "Wykresy funkcji liniowej".

I. Równoległość prostych.

Sporządź wykres prostej y = ax + b {a*x+b} dla a = 2 i b = -3. Dobierając odpowiednie wartości współczynników a i b sporządź kilka wykresów prostych równoległych do tej prostej. Sformułuj warunek równoległości prostych.

Rozwiązanie.
Prostymi równoległymi do prostej y = 2x - 3 są m.in. y = 2x {2*x}; y = 2x - 1 {2*x-1}; y = 2x + 5 {2*x+5}.
Wniosek 1.
Proste y = a1x + b1 i y = a2x + b2 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy, czyli gdy a1 = a2.
Zadanie 1.
Narysuj prostą o równaniu y = 3x - 5 {3*x-5} i ułóż równanie prostej równoległej, przechodzącej przez punkt (-2, -1). Staraj się to zrobić bez wykonywania obliczeń na kartce, patrząc tylko na układ współrzędnych z kwadratową siatką i na daną prostą.
Rozwiązanie.
y = 3x +7.
Zadanie 2.
Ułóż równania dwóch prostych równoległych, których punkty przecięcia z prostymi równoległymi z poprzedniego zadania są wierzchołkami rombu i jedna z przekątnych rombu leży na osi Oy.
Rozwiązanie.
y = -3x - 5 {-3*x-5}; y = -3x + 7 {-3*x+7}

II. Prostopadłość prostych.

Sporządź wykres prostej y = 2x - 5 {2*x-5}.

Wskaż myszką punkt (0, -5), przesuń myszkę o 1 jednostkę w prawo i o tyle jednostek w górę ile wynosi współczynnik kierunkowy, czyli o 2 jednostki. Z miejsca, które wskazuje myszka znów przesuń się o 1 jednostkę w prawo i o 2 jednostki w górę, itd. Co zauważyłeś?

Rozwiązanie.
Przesuwamy się skokowo po danej prostej y = 2x - 5.

Wskaż myszką znów punkt (0, -5) na prostej y = 2x - 5 i spróbuj skokowo przemieszczać myszkę po płaszczyźnie tak, aby przesuwała się ona po prostej prostopadłej do danej prostej. O ile jednostek w prawo i o ile jednostek w górę albo w dół musisz przesuwać myszkę?

Rozwiązanie.
Należy przesuwać myszkę o 2 jednostki w prawo i o 1 jednostkę w dół.

Spróbuj ułożyć równanie i narysować tę prostą prostopadłą.

Rozwiązanie.
Jeżeli przyrost argumentu wynosi 2, zaś przyrost wartości funkcji wynosi -1 (przesuwamy się w dół), to współczynnik kierunkowy wynosi -. Równanie prostej prostopadłej: y = -x - 5 {-1/2*x-5}. Sprawdź to na wykresie.

Sprawdź, czy taka zasada obowiązuje dla innych punktów prostej y = 2x - 5, np. dla punktu (1, -3)?

Rozwiązanie.
Przesuwając punkt (1, -3) o 2 jednostki w prawo i o 1 jednostkę w dół przesuwamy go po prostej prostopadłej. Równanie tej prostej prostopadłej: y = -x - 2,5 {-1/2*x-2,5}. Zasada obowiązuje dla wszystkich punktów prostej y = 2x - 5.

Sprawdź, czy omówiona powyżej zasada budowania prostej prostopadłej do danej prostej jest prawidłowa dla innych prostych, np. dla prostej y = -3x + 4 {-3*x+4}.

Rozwiązanie.
Ponieważ prosta y = -3x + 4 ma ujemny współczynnik kierunkowy, więc widać, że prostopadła do niej musi mieć współczynnik kierunkowy dodatni. Musimy więc przesuwać się o 3 jednostki w prawo i o 1 jednostkę w górę, czyli współczynnik kierunkowy wynosi . Jeśli rozpoczniemy przesuwanie od punktu (0, 4) to równanie prostej prostopadłej będzie miało postać y = x + 4 {1/3*x+4}. Sprawdź to!

Spróbuj sformułować ogólny wniosek dotyczący prostej prostopadłej do danej prostej.

Wniosek 2.
Proste y = a1x + b1 i y = a2x + b2 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są liczbami do siebie odwrotnymi o przeciwnych znakach, czyli gdy . Pełny dowód tego wniosku znajdziesz w podręczniku Matematyka przyjemna i pożyteczna. Klasa 1.
Zadanie 3.
Narysuj prostą o równaniu y = x - 2 {2/3*x-2} i ułóż równanie prostej prostopadłej, przechodzącej przez punkt (-1, 3).
Rozwiązanie.
y = -x + b, skąd można obliczyć b, podstawiając za x i y współrzędne punktu (-1, 3). Ostatecznie otrzymujemy y = -x + .
Zadanie 4.
Narysuj na płaszczyźnie cztery proste, których punkty przecięcia są wierzchołkami kwadratu.
Rozwiązanie.
Można podać łatwy przykład, gdy boki kwadratu są równoległe do osi układu współrzędnych, np. proste: y = 3; y = -3; x = 3; x = -3 wyznaczają kwadrat o boku 6. W ogólnym przypadku można rozpocząć od dowolnego punktu płaszczyzny i stosując zasadę skokowego przesuwania myszki po prostych prostopadłych wyznaczyć 3 kolejne punkty oraz równania prostych przechodzących przez pary tych punktów.

Projekt (matematyka, informatyka, fizyka)

Temat: Równoległość i prostopadłość prostych w postaci ogólnej, odcinkowej, wektorowej i parametrycznej.

Omów równania prostych w postaci: ogólnej, odcinkowej, wektorowej i parametrycznej. Odkryj, sformułuj i udowodnij warunki ich równoległości i prostopadłości. Napisz program komputerowy wykonujący wykresy prostych zadanych w różnych postaciach. Podaj zastosowania poszczególnych równań prostych, ze szczególnym uwzględnieniem zagadnień z fizyki.

Strona główna