Kliknij myszką rysunek przedstawiający Pitagorasa i jego kwadraty. Otrzymałeś trzy kwadraty stykające się wierzchołkami, tworzące trójkąt prostokątny.
Czy udało Ci się to zrobić? Na pewno tak.
Zastanów się, czy jest to dowód twierdzenia Pitagorasa?
Chyba jednak nie. Jest to ilustracja dowodu. Nie mamy pewności, że przekształcając figury nie zmieniliśmy ich pola, oraz, że obie figury idealnie pokryły duży kwadrat.
Masz więc do rozwiązania następne dwa zadania.
Przesuwając bok a kwadratu wzdłuż prostej przechodzącej przez ten bok otrzymujemy niebieski równoległobok, którego nieruchoma podstawa i wysokość mają tę samą długość. Zatem pole równoległoboku, obliczone ze wzoru a·h jest takie samo jak pole kwadratu o boku a i wynosi a2. Analogicznie pole zielonego równoległoboku wynosi b2.
Rozpatrzmy niebieski równoległobok otrzymany po zakończeniu pierwszej fazy przekształcania, czyli w położeniu, gdy dwa jego boki są pionowe — patrz rysunek poniżej.
Łatwo zauważyć, dlaczego cztery boki oznaczone literą c mają tę samą długość. Mianowicie, dwa szare trójkąty prostokątne mają odpowiednie boki równe i w obu kąt między bokami jest prosty, więc na podstawie cechy BKB są to trójkąty przystające. Zatem przeciwprostokątne c są też równe. Wykonując dalsze fazy przekształcenia równoległoboków pokryjemy nimi idealnie duży kwadrat.
Teraz możemy już na pewno powiedzieć, że suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Można zapisać to wzorem: a2+b2=c2.
A teraz dwa ważne problemy dotyczące twierdzenia Pitagorasa.
Obejrzyj trzy poniższe rysunki i spróbuj na ich podstawie udowodnić twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.
Rys.1 ilustruje twierdzenie Pitagorasa — suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.
Rys.2 pokazuje dwa kwadraty (niebieski i zielony) o polach identycznych jak na pierwszym rysunku, zetknięte wierzchołkami tak, że powstał kąt ostry. Zatem bok pomarańczowego kwadratu, a więc i jego pole, są mniejsze od boku i pola tego kwadratu na rys.1.
Rys.3 pokazuje podobną sytuację, ale tutaj trójkąt jest rozwartokątny i bok oraz pole pomarańczowego kwadratu są większe.
Stąd płynie prosty wniosek, zwany twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa: Jeżeli pole kwadratu zbudowanego na jednym z boków trójkąta jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na dwóch pozostałych bokach, to trójkąt jest prostokątny.
O ile mniejsze jest pole pomarańczowego kwadratu od sumy pól kwadratu niebieskiego i zielonego w sytuacji, gdy biały trójkąt jest ostrokątny — rys.4.
Rys. 4.
Prowadzimy trzy wysokości trójkąta i przedłużamy je tak, aby każda z nich podzieliła odpowiedni kwadrat na dwa prostokąty — rys.5.
Rys. 5. 
Pola prostokątów parami są równe (zaraz wyjaśnimy dlaczego), zatem c2 = a2 + b2 - 2P3. Wzór ten nazywamy uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa. Pole pomarańczowego kwadratu jest o 2P3 mniejsze od sumy pól dwóch pozostałych kwadratów. W starszej klasie dowiesz się jaki to ma związek z twierdzeniem cosinusów.
Równość pól par prostokątów wyjaśnimy na parze pól P2 — rys.6.
Rys. 6. 
Dwa zakreskowane trójkąty są przystające, ponieważ dwa boki i kąt między nimi w obu trójkątach są równe, a więc mają równe pola. Pole trójkąta zakreskowanego poziomo jest równe połowie pola pomarańczowego prostokąta P2, zaś pole trójkąta zakreskowanego pionowo jest równe połowie pola zielonego prostokąta P2. Zatem pola P2 są równe. Równość pól pozostałych par prostokątów uzasadnia się analogicznie.
Jeśli masz trudności z tymi zadaniami napisz do KlubEureka@wszpwn.com.pl.