Będziemy budować wielokaty foremne z kartki formatu A4. Taka kartka ma zadziwiające własności. Obejrzyj animację Własności kartki A4.
Długość dłuższego bok kartki formatu A4 jest równa długości przekątnej kwadratu zbudowanego z krótszych boków.
Rzeczywiście, przyjmując długość krótszego boku kartki jako a i zaginając
ją wzdłuż dwusiecznej jednego z kątów prostych widzimy, że jest to przekatna
kwadratu o boku a, zatem jej długość wynosi a
. Zaginając teraz otrzymaną
figurę wzdłuż dwusiecznej otrzymanego kąta, zauważamy, że przekątna a
pokrywa się z dłuższym bokiem kartki. Zatem kartka formatu A4 ma boki
długości a i a. Rzeczywiście, standardowe wymiary kartki A4 wynoszą
297 mm × 210 mm i dzieląc 297 przez 210 otrzymujemy 1,4142... = .
Możesz to sprawdzić mierząc linijką swoją kartkę A4.
Inną ciekawą własność kartki A4 prezentuje druga animacja — żeby ją zobaczyć naciśnij odpowiedni przycisk START.
Rozcinając kartkę A4 wzdłuż symatralnej dłuższego boku otrzymujemy dwie
mniejsze kartki. Dłuższe boki tych mniejszych kartek wynoszą a, zaś krótsze
a. Dzieląc a przez a otrzymujemy znów
(Wykonaj to dzielenie
na kalkulatorze lub ręcznie). Zatem połówki kartki formatu A4 mają tę
samą proporcję boków co cała kartka. Te połówki znów możemy podzielić
na dwie równe części i tak dalej. Po ułożeniu wszystkich części w
lewym górnym roku kartki, widzimy, że odpowiednie wierzchołki leżą
na linii prostej.
Jaki wniosek można wyciągnąć z faktu, że wierzchołki leżą na linii prostej?
Jest to proporcjonalność. Stosunek dłuższego boku każdej kartki do jej krótszego
boku jest taki sam i wynosi . Własność ta jest bardzo często
wykorzystywana w praktyce. Wykonując jakiekolwiek operacje na połówce
lub ćwiartce kartki formatu A4, uzyskujemy takie same proporcje figur
jakie uzyskalibyśmy, wykonując te same czynności na całej kartce.
Trzecia ciekawa własność kartki A4 to długość jej przekątnej. Czy potrafisz ją obliczyć?
Oczywiście, wynosi ona 
.
Pokaż, że z kartki o wymiarach a × a można łatwo zbudować:
a) trójkąt równoboczny;
b) czworościan foremny.
Aby zbudować trójkąt równoboczny musimy kąt 90°, jaki ma prostokątna kartka, podzielić na kąty 60° i 30°.
Weź kartkę A4 (lub, zgodnie z własnością II, jej połówkę lub ćwiartkę) i przyjmij, że jej wyskość wynosi 1. Przypomnij sobie również, że trójkąt prostokątny o kącie 30° ma, naprzeciw kąta 30° bok, którego długość jest równa połowie przeciwprostokątnej. Spróbuj teraz zagiąć róg kartki w taki sposób, aby otrzymać kąty 60° i 30°.
Jeśli w dalszym ciągu masz problemy spójrz na poniższy rysunek.
Czy już wiesz jak zagiąć kartkę? Teraz możesz wczytać i uruchomić animację Trójkąt.
Zbuduj ze swojej kartki cały trójkąt równoboczny.
Sprawdźmy jeszcze, czy na pewno wszystkie kąty otrzymanego trójkata maja po 60°. Kąt przy podstawie, z lewej strony, ma na pewno 60° ponieważ to był początkowy warunek składania. Uruchom drugi krok animacji i zauważ, że kąt przy górnym wierzchołku jest kątem trójkąta prostokątnego, którego drugim kątem ostrym jest kąt 30°, więc też ma 60° . Zatem trzeci kąt musi mieć 60°.
Na pewno budowałeś wielokrotnie kwadrat z prostokątnej kartki papieru, więc dla przypomnienia obejrzyj tylko animację Kwadrat.
Ze zbudowaniem pięciokata foremnego będą pewne problemy. Obejrzyj najpierw animację Pięciokąt, a później o tym porozmawiamy.
Jak więc widzisz, składanie jest bardzo proste, ale niestety ... niedokładne. Otrzymany pięciokąt nie jest foremny. Różnica w kątach, pomiędzy otrzymanym wielokątem a prawdziwym pięciokątem foremnym, jest niewidoczna dla oka i wynosi tylko około 1°. Aby się o tym przekonać należy wykonać poniższe obliczenia.
Oblicz najpierw ile stopni mają kąty prawdziwego pięciokąta foremnego. Jeśli masz problemy spójrz na poniższy rysunek.
Pięciokąt można podzielić na 3 trójkaty, każdy trójkąt ma 180°, zatem wszystkie kąty pięciokąta mają 3·180° = 540°, stąd każdy kąt pięciokąta foremnego ma 540° : 5 = 108°.
Spójrz na kartkę A4.
Oblicz kąt α.
Można to zrobić np. tak: sinα = : = 0.8165, a stąd α = 54°44'08''.
Składając kartkę A4 w pięciokąt, już w pierwszym ruchu otrzymujemy jeden z kątów pięciokąta.
Jego rozwartość wynosi 2a = 2 · 54°44'08'' = 109°28'16'. Nie jest to więc kąt pięciokąta foremnego, ponieważ nie jest równy 108°.
Przedstawiona animacja jest więc tylko przybliżonym sposobem zbudowania pięciokąta foremnego z kartki A4. Dokładny sposób nie jest znany.
Wykonaj konstrukcję klasyczną (za pomocą programu Cabri lub za pomocą cyrkla i linijki) pięciokąta foremnego mając dany:
a) bok a pięciokąta;
b) promień r okręgu opisanego na pięciokącie.
Mając zbudowany trójkat równoboczny, łatwo z niego zbudować sześciokąt foremny.
Spróbuj to zrobić samodzielnie a następnie obejrzyj animację Sześciokąt.
Spróbuj wymyślić samodzielnie taki sposób zaginania kartki A4, aby otrzymać z niej ośmiokąt foremny. (Wskazówka: zbuduj najpierw kwadrat, ale nie wyrzucaj śmieci.)
Obejrzyj teraz animację Ośmiokąt.
Widzisz, że oderwany kawałek został wykorzystany i dlatego nie należało wyrzucać śmieci. Jest to dowód na to, że matematyka jest nauką ekologiczną i nie zagraża człowiekowi. :-)
Czy zaprezentowany w animacji sposób budowania ośmiokąta foremnego jest dokładny czy przybliżony. Spróbuj to wykazać, obliczenia nie są trudne, wystarczy zastosować tw. Pitagorasa i oczywiście uruchomić szare komórki.
Popatrz na kwadrat o boku 1 i zbudowany w oparciu o niego ośmiokąt foremny.
Czy wiesz dlaczego na jednym z boków ośmiokąta napisano "-1"?
Ponieważ jest to szerokość oderwanego fragmentu kartki A4, a kartka A4 ma
wymiary i 1.
Wystarczy więc pokazać, że sąsiedni bok ośmiokąta, oznaczony na rysunku 1-2x,
też ma długość -1. Stosujemy tw. Pitagorasa do trójkata
prostokatnego o dwóch przyprostokatnych x i
przeciwprostokatnej -1 i obliczamy długość x a następnie długość 1-2x:
Zatem wszystkie boki ośmiokąta mają tę samą długość, więc ośmiokąt jest foremny.