Zapoznaj się z bardzo ciekawym, a jednocześnie prostym sposobem konstrukcji paraboli. Zmieniaj położenie trzech wyróżnionych punktów i obserwuj zmieniające się kształty paraboli (zmiany dokonujemy klikając myszką w niebieski, zielony lub czerwony punkt i ustawiając go w inne miejsce; wykres zielonej paraboli można zmazać przyciskiem "Wyczyść").
Zauważyłeś, że program rysuje kilkanaście odcinków, a obrzeże (obwiednia) tych odcinków tworzy kształt paraboli? Zwróć również uwagę, że zawsze jest to tylko fragment paraboli, zmaż zielony wykres i zobacz, że ramiona kończą się na niebieskim i zielonym punkcie.
Wybierz w przeglądarce polecenie "Odśwież", aby przywrócić wyjściową parabolę, ponieważ do niej będą odnosić się następne uwagi.
Pierwszą konstrukcję jaką pokazuje program jest parabola
y = 
x2.
Na ramionach kąta, wyznaczonego przez punkty (-8, 8), (0, -8), (8,8),
w równych odstępach obrano po 7
punktów i połączono je odpowiednio odcinkami.
Odpowiedniość ta polega na tym, że pierwszy punkt jednego ramienia połączono
z ostatnim punktem drugiego ramienia (punkty liczymy, zaczynając od wierzchołka
kąta), następnie drugi punkt pierwszego ramienia połączono z przedostatnim
punktem drugiego ramienia, itd.
Zwróć uwagę na bardzo ważną rzecz - każdy odcinek ma swój udział w konstrukcji paraboli. Parabola składa się bowiem z małych fragmentów każdego odcinka i gdyby któregoś odcinka zabrakło, w pewnym miejscu parabola byłaby trochę zniekształcona. Właściwie więc parabola ta nie jest parabolą, składa się bowiem z odcinków a prawdziwa parabola wygina się "gładko". Ten problem łatwo jednak rozwiązać, wystarczy wziąć więcej odcinków, tak powiedzmy, hmm!?, nieskończenie wiele i otrzymamy idealną parabolę.
To, że obwiednia odcinków tworzy parabolę
y = x2
(y = 0,125x2)
pokazuje zielony wykres funkcji uzyskany tradycyjnym sposobem.
Ustaw niebieski kwadracik w punkcie (-3, 9), zielony w punkcie (3, 9), zaś czerwony w punkcie (0, -9) (zmaż zielony wykres paraboli naciskając "Wyczyść").
Oczywiście jest to parabola y = x2. Sprawdź to wpisując wartość współczynnika a równą 1 i naciskając "Rysuj".
Ustaw kwadraciki w punktach: niebieski (-1, 8), zielony (7, 8), czerwony (3, -4). Spróbuj określić wzór wzór otrzymanej paraboli 3 sposobami:
1 sposób.
Wpisz do okienek edycyjnych odpowiednie wartości a, b, c i metodą prób i błędów (a może od razu bez błędów) dopasuj kształt i położenie paraboli do skonstruowanej paraboli.
2 sposób.
Z wykresu odczytaj współrzędne wierzchołka xw i yw, zaś z kształtu paraboli określ wartość współczynnika a (sposób określania współczynnika kształtu paraboli jest omówiony w lekcji "Postać ogólna").
Współczynnik b oblicz ze wzoru na współrzędną
xw=
, zaś z postaci kanonicznej
y = a(x-xw)2+yw wyznacz wyraz wolny c.
xw = 3; yw = 2;
a = 0,375; b = -2,25; c = 5,375.
3 sposób.
Znając współrzędne wierzchołka i dwóch punktów należących do wykresu paraboli ułóż i rozwiąż układ 3 równań z 3 niewiadomymi:
a = 0,375; b = -2,25; c = 5.375.
Zbadaj teraz czy zawsze istnieje rozwiązanie?
Zbadaj teraz czy rozwiązanie, jeśli istnieje, jest jednoznaczne?
Rozwiązanie.y =
x2 - 2
Rozwiązanie.y = -
x2 + 6
Rozwiązanie.y =
Temat: Konstrukcje paraboli.
Opisz odpowiednimi wzorami konstrukcję paraboli przedstawioną w tym rozdziale.
W szczególności zbadaj i udowodnij, ile punktów wspólnych z parabolą ma
każdy odcinek występujący w konstrukcji. Podaj inne sposoby konstrukcji
parabol wraz z odpowiednimi wzorami i dowodami. Zgromadź i opisz przykłady
wykorzystywania paraboli przez przyrodę i przez człowieka. Poproś
nauczyciela o opiekę nad projektem a po zakończeniu zaprezentuj
wyniki całej klasie.
