Powinowactwa wykresów

Zapoznasz się ze sposobem wykonywania przekształceń wykresów funkcji przez powinowactwo prostokątne względem osi Ox i Oy.

I. Powinowactwo względem osi Ox.

Sporządź wykres paraboli y = x2 - 4 {x^2-4} i odczytaj współrzędne wierzchołka.

Otrzymałeś parabolę o wierzchołku w punkcie (0, -4).

Sporządź wykres paraboli y = 2(x2 - 4) {2*(x^2-4)}, odczytaj współrzędne wierzchołka oraz określ jak zmieniły się inne punkty paraboli.

Otrzymałeś parabolę o wierzchołku (0, -8). Wierzchołek i każdy punkt paraboli zwiększył swoją współrzędną y dwa razy.

Określenie 1.
Przekształcenie funkcji y = f(x) na funkcję y = b·f(x) nazywamy powinowactwem prostokątnym o osi Ox w skali b.
Zadanie 1.

Przekształć przez powinowactwo względem osi Ox, w skali obranej przez siebie, następujące funkcje:

1) y = 3x - 2;
2) y = 2;
3) y = |x+3|;
4) y = ;
5) y = x2;
6) y = [x];
7) y = .

Które wartości funkcji nie zmieniają się?

Rozwiązanie.
Miejsca zerowe nie zmieniają swojego położenia, ponieważ w miejscu zerowym wartość funkcji wynosi zero i b·0 = 0.
Zadanie 2.

Odczytaj skalę powinowactwa względem osi Ox przedstawionych poniżej wykresów i sporządź te wykresy za pomocą programu.

a) b)

Rozwiązanie.

a) Wykres niebieski y = ; wykres czerwony y = 3; skala 3. Jeśli potraktować wykres czerwony jako wyjściowy, to skala wynosi .

b) Wykres niebieski y = 2|x - 3|; wykres czerwony y = |x - 3|; skala . Jeśli potraktować wykres czerwony jako wyjściowy, to skala wynosi 2.

II. Powinowactwo względem osi Oy.

Sporządź wykres paraboli y = x2 - 4 i odczytaj miejsca zerowe.

Otrzymałeś x1 = -2 i x2 = 2.

Zadanie 3.
Przekształć parabolę (czyli zmień wzór paraboli) y = x2 - 4 tak, aby jej miejsca zerowe zwiększyły się 1,5 raza.
Rozwiązanie.

y = (x)2 - 4

Miejsca zerowe zwiększyły się 1,5 raza, czyli skala powiększenia wynosi . Również inne punkty paraboli oddaliły się od osi Oy na odległość 1,5 raza. Na przykład, punkt paraboli (3, 5) został przekształcony na punkt (4, 5), czyli skala wynosi = . Sprawdź to samo dla punktu (1, -3).

Zadanie 4.

Sprawdź, że okrąg o środku (0, 0) i promieniu 2 jest sumą dwóch wykresów funkcji: y = i y = -. Przekształć te półokręgi tak, aby otrzymać elipsę przedstawioną na poniższym rysunku.

Rozwiązanie.
y = i y = -.
Zadanie 5.

Mając daną funkcję y = f(x), sporządź wykres funkcji y = f(x):

1) y = 3x - 2;
2) y = 2;
3) y = |x+3|;
4) y = ;
5) y = x2;
6) y = [x];
7) y = .

Które punkty wykresu nie zmieniają swojego położenia?

Rozwiązanie.
Dla funkcji y = 3x - 2 rysujemy funkcję y = 3·x - 2, czyli funkcję y = x - 2 {3/2*x-2}. Z pozostałymi funkcjami postępujemy analogicznie. Punkty przecięcia wykresów z osią Oy nie zmieniają swojego położenia, ponieważ dla x = 0, ·x = 0.
Określenie 2.
Przekształcenie funkcji y = f(x) na funkcję y = f(a·x) nazywamy powinowactwem względem osi Oy w skali .
Zadanie 6.

Odczytaj skalę powinowactwa względem osi Oy przedstawionych wykresów i sporządź te wykresy za pomocą programu.

a) b)

Rozwiązanie.

a) Wykres niebieski y = ; wykres czerwony y = 3 = ; skala . Jeśli potraktować wykres czerwony jako wyjściowy to skala wynosi 9.

b) Wykres niebieski y = 2|x - 2|; wykres czerwony y = |x - 2|; skala 3. Jeśli potraktować wykres czerwony jako wyjściowy to skala wynosi .

Zadanie 7.
Porównaj zadanie 2 a) z zadaniem 6 a) i spróbuj sformułować wniosek.
Wniosek.
Powinowactwo prostokątne względem osi Ox może być równocześnie powinowactwem względem osi Oy. Skale tych powinowactw są jednak różne.

III. Dwa powinowactwa łącznie: powinowactwo względem osi Ox i względem osi Oy.

Wykonaj:

a) złożenie powinowactwa wykresu funkcji y = x2 + 3 względem osi Ox w skali z powinowactwem względem osi Oy w skali 2; b) złożenie powinowactwa wykresu funkcji y = x2 + 3 względem osi Oy w skali 2 z powinowactwem względem osi Ox w skali ;

Co zauważyłeś?

Rozwiązanie.
Końcowy wynik w obu przypadkach jest taki sam. Świadczy to o przemienności tych przekształceń.

Wykonaj złożenie powinowactwa funkcji y = [x+3] {int(x+3)} względem osi Ox w skali 2 z powinowactwem względem osi Oy równiez w skali 2. Co zauważyłeś?

Rozwiązanie.
Końcowy wykres jest dwukrotnym powiększeniem wyjściowego wykresu - jest to jednokładność względem punktu (0, 0).

Projekt (matematyka, informatyka)

Temat: Powinowactwo prostokątne.

Napisz program komputerowy wykonujący powinowactwa wykresów funkcji i zbadaj (między innymi) następujące problemy:

  1. Sposób budowania wzoru funkcji otrzymanej w wyniku powinowactwa.
  2. Kiedy powinowactwo prostokątne względem osi Ox jest równocześnie powinowactwem względem osi Oy?
  3. Własności złożenia dwóch powinowactw i jego związek z jednokładnością.
  4. Składanie powinowactw z symetriami i przesunięciami ze szczególnym uwzględnieniem sposobu wykonywania wykresów funkcji y = a·f(b·(x + c)) + d (problem kolejności wykonywania przekształceń).
Strona główna