Przesunięcia wykresów funkcji

I. Przesunięcia pionowe.

Wykonaj wykresy podanych niżej par funkcji zmieniając kilkakrotnie wartość parametru b. Spróbuj wywnioskować, w jaki sposób parametr b wpływa na położenie wykresu funkcji.

y = -3x   i   y = -3x + b;
y = 1   i   y = 1 + b;
y =   i   y = + b;
y = x2   i   y = x2 + b;
y = [x]   i   y = [x] + b;
y =   i   y = + b.

Wniosek 1.
Wykres funkcji y = f(x) + b powstaje z wykresu funkcji y = f(x) przez przesunięcie o wartość b równolegle do osi Oy. Takie przekształcenie nazywamy translacją o wektor [0, b].
Zadanie 1.

Dana jest funkcja:

a) y = 2x - 3;
b) y = x2.

Nie sporządzając wykresu, napisz wzór funkcji przesuniętej o 3 jednostki w dół. Sprawdź wynik za pomocą programu.

Odp.
a) y = 2x - 6;
b) y = x2 - 3;
Zadanie 2.

Podaj wzór funkcji przedstawionych na wykresie.

a) b)

Odp.
a) y = ;
b) y = x2 + 1.

II. Przesunięcie poziome.

Wykonaj wykresy podanych niżej par funkcji zmieniając kilkakrotnie wartość parametru a. Spróbuj wywnioskować, w jaki sposób parametr a wpływa na położenie wykresu funkcji.

y = -3x   i   y = -3(x - a);
y =   i   y = ;
y = x2   i   y = (x - a)2;
y = [x]   i   y = [x - a];
y =   i   y = .

Wniosek 2.

Wykres funkcji y = f(x - a) powstaje z wykresu funkcji y = f(x) przez przesunięcie o wartość a równolegle do osi Ox.

Takie przekształcenie nazywamy translacją o wektor [a, 0].

Zadanie 3.

Dana jest funkcja:

a) y = 2x - 3;
b) y = x2.

Nie sporządzając wykresu napisz wzór funkcji przesuniętej o 4 jednostki w lewo. Sprawdź wynik za pomocą programu.

Odp.
a) y = 2x+5;
b) y = (x + 4)2.
Zadanie 4.

Podaj wzór funkcji przedstawionych na wykresie.

a) b)

Odp.
a) y = ;
b) y = [x+3]  lub y = [x]+3.
Zadanie 5.

Sprawdź, która z podanych niżej funkcji jest przesunięciem funkcji y = x2 o wektor [2, 0]?

a) y = x2 - 2;
b) y = x2 + 2;
c) y = x2 - 4x +4;
d) y = (x - 2)2;
e) y = (x + 2)2;
f) y = x2 + 4x +4.

Odp.
c) i d).

III. Dwa przesunięcia łącznie: pionowe i poziome.

Wykonaj wykresy podanych niżej par funkcji dla różnych wartości parametrów a i b. Spróbuj wywnioskować, w jaki sposób parametry a i b wpływają na położenie wykresu funkcji.

y = -3x   i   y = -3(x - a) + b;
y =   i   y = + b;
y = x2   i   y = (x - a)2 + b;
y = [x]   i   y = [x - a] + b;
y =   i   y = + b.

Wniosek 3.

Wykres funkcji y = f(x-a) + b powstaje z wykresu funkcji y = f(x) przez przesunięcie o wartość a równolegle do osi Ox i równocześnie o wartość b równolegle do osi Oy.

Takie przekształcenie nazywamy translacją o wektor [a, b].

Zadanie 6.

Dana jest prosta y = 2x - 3.

a) Napisz wzór prostej przesuniętej o 3 jednostki w dół i o 4 jednostki w lewo. Sprawdź wynik, sporządzając wykres danej prostej i prostej przesuniętej.

b) Wykonaj jak najmniejsze przesunięcie prostej y = 2x - 3, aby otrzymać prostą będącą rozwiązaniem punktu a).

Odp.
a) y = 2x + 2;
b) w górę o 1 jednostkę i w lewo o 2 jednostki.
Zadanie 7.

Dana jest parabola y = x2.

a) Napisz wzór paraboli przesuniętej o 3 jednostki w dół i o 4 jednostki w lewo. Sprawdź wynik, sporządzając wykres danej paraboli i paraboli przesuniętej.

b) Wykonaj jak najmniejsze przesunięcie paraboli y = x2, aby otrzymać parabolę z punktu a).

Odp.
a) y = x2 + 8x + 13;
b) nie ma mniejszego przesunięcia.
Zadanie 8.

Podaj wzory pary funkcji przedstawionej na wykresie:

a) b)

Odp.

a) y = x2   i   y = x2 - 6x + 7;

b)  y =   i   y = .

Zadanie 9.
Czy wykres funkcji przesuniętej jest przystający do wykresu funkcji danej?
Odp.
Tak, z obserwacji wykresów przesuniętych wynika, że wykres funkcji przesuniętej ma identyczny kształt jak wykres funkcji danej; oba wykresy można na siebie nałożyć.
Zadanie 10.
Zbadaj, czy złożenie dwóch przesunięć wykresów funkcji jest przemienne, tzn. czy kolejność wykonywania przesunięć ma wpływ na wynik końcowy? Dobierz samodzielnie przykłady do tego zagadnienia.
Odp.
Złożenie dwóch przesunięć wykresów funkcji jest przemienne (kolejność wykonywania przesunięć nie wpływa na wynik końcowy).
Strona główna