Ciągi arytmetyczne i geometryczne

a) monotoniczność 

Weźmy dowolne i takie, że

Wtedy:

Na mocy definicji ciąg jest rosnący.

b) Ograniczenia

Mówimy, że ciąg jest ograniczony, gdy jest ograniczony z góry i z dołu.

zauważmy, że

c) Ciąg liczbowy można przedstawić wykresem.

Zauważmy z łatwością, że mamy do czynienia z sumą ciągu arytmetycznego 

Wyznaczamy "r"- stałą oraz "n"-ty wyraz ciągu ze wzorów

Podstawiamy wzór sumy i "n" wyrazu do równania oraz rozwiązujemy go.

Odp. W ciągu ,którego suma jest równa 280 ostatni wyraz to 55.

Ponieważ ciąg jest arytmetyczny przyjmujemy.

Z warunków zadania wiemy, że:

Podstawiamy doprowadzając do jednej niewiadomej i rozwiązujemy układ równań.

Układamy czterowyrazowe ciągi z powyższych rozwiązań.

Odp. Rozwiązaniem tego zadania są dwa ciągi arytmetyczne spełniające wszystkie warunki zadania.

Ponieważ ciąg jest geometryczny można przyjąć.

Obliczamy ostatni wyraz ciągu ze wzoru ,podstawiamy i obliczamy "q"- iloraz ciągu

Obliczamy wyrazy ciągu x i y.

Odp. Szukanymi wyrazami ciągu są x=80, y=200, które tworzą ciąg geometryczny

Mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym i geometrycznym i wiemy że: 

- ciąg arytmetyczny

- ciąg geometryczny

Układamy układ równań z trzema niewiadomymi. 

Układamy i sprawdzamy ciąg geometryczny i arytmetyczny zgodnie z warunkami zadania.

Odp. Rozwiązaniem zadania są liczby a=3, b=6, c=9, d=12,
które tworzą ciąg arytmetyczny oraz ciąg geometryczny zgodnie z zadaniem .

a) Badamy monotoniczność ciągu:

Jak więc widać ciąg jest rosnący.

b) Badamy ograniczenie ciągu:

Zauważmy, że 

Ciąg jest ograniczony z dołu, nie jest ograniczony z góry.

Zauważmy, że lewa strona równania to szereg geometryczny o:

Sprawdzamy warunek istnienia szeregu:
czyli , więc:

ze wzoru na sumę

     

Niech c oznacza przeciwprostokątną, a i b - przyprostokątne. Przyjmijmy, że a jest najkrótszym bokiem. Wtedy:

Boki trójkąta są równe a=18, b=24 i c=30.

Jego pole to .

Z treści zadania mamy:
(2,x,y) - ciąg geometryczny
(x,y,56) - ciąg arytmetyczny

Z definicji ciągów:

Odp. Istnieją dwa ciągi spełniające warunki zadania:
 

Niech:

Z treści zadania:

gdzie , więc

       

nie spełnia warunków zadania.

Odp. Są dwa takie ciągi: (108,36,12,4) lub (4,12,36,108).